의·약학계 기하

[기하-1]점 P에서 평면 ABCD에 내린 수선의 발을 P′이라 하고, 선분 BC의 중점을 M이라 하자.삼각형 PBM이 직각삼각형이므로$\displaystyle \overline{\mathrm{PM}}^2=\overline{\mathrm{PB}}^2-\overline{\mathrm{BM}}^2=16-4=12$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{PM}}=2\sqrt3$이다. 삼각형 PP′M이 직각삼각형이므로,$\displaystyle \overline{\mathrm{PP}^{\prime}}^2=\overline{\mathrm{PM}}^2-\overline{\mathrm P^{\prime}\mathrm M}^2=12-4=8$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{PP}^{\prime}}=2\sqrt2$이다.

다음 그림에서 직선 $\displaystyle \mathrm{EQ}_2$와 직선 AP가 평행하므로 직선 $\displaystyle \mathrm{EQ}_2$는 직선 AP를 포함하는 평면 ADP와 평행하다. 이와 같은 방법으로, 직선 EF는 평면 ADP와 평행함을 알 수 있다. 평면 ADP 위에 있지 않은 한 점 E를 지나고 평면 ADP에 평행한 서로 다른 두 직선 $\displaystyle \mathrm{EQ}_2$와 EF에 의하여 결정되는 평면 $\displaystyle \mathrm{EQ}_2\mathrm R_2\mathrm F$는 평면 ADP와 평행하다. 따라서 두 평면 ABCD와 $\displaystyle \mathrm{EQ}_2\mathrm R_2\mathrm F$가 이루는 이면각의 크기를 $\displaystyle \alpha$라 하면, 두 평면 ADP와 ABCD가 이루는 이면각의 크기도 $\displaystyle \alpha$가 되어,$\displaystyle \sin\alpha=\frac{2\sqrt2}{2\sqrt3}=\frac{\sqrt6}3$이다.

그러므로$\displaystyle \alpha+\theta=\frac\pi2$이고$\displaystyle \cos\theta=\sin\alpha=\frac{\sqrt6}3$이다.

[기하-2]삼각형 $\displaystyle \mathrm{PQ}_2\mathrm R_2$의 내접원의 중심을 점 O라 하자. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PQ}_2\mathrm R_2$는 정삼각형이므로 점 O는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PQ}_2\mathrm R_2$의 무게중심이 되어, 내접원의 반지름의 길이 $\displaystyle r$는$\displaystyle r=\frac13\overline{\mathrm{PM}_2}=\frac13\times\frac3{\sqrt3}\times\frac12\times\overline{\mathrm Q_2\mathrm R_2}=\frac1{2\sqrt3}\times\frac{k}{k+1}\times\overline{\mathrm{BC}}=\frac{2\sqrt3k}{3(k+1)}$이다. 선분 $\displaystyle \mathrm Q_1\mathrm R_1$이 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PQ}_2\mathrm R_2$의 내접원에 접하거나 만나지 않으면, 이 내접원은 사각형 $\displaystyle \mathrm Q_1\mathrm Q_2\mathrm R_2\mathrm R_1$에 포함되는 원 중에 최대 지름을 갖는 원이 된다.

이다. 선분 $\displaystyle \mathrm M_1\mathrm M_2$의 길이와 내접원의 지름이 같아지는 경우가 선분 $\displaystyle \mathrm Q_1\mathrm R_1$이 내접원에 접할 때이다. 즉,$\displaystyle \frac{4\sqrt3k}{3(k+1)}=\frac{2\sqrt3}{k+1}$이고, 이때 $\displaystyle k=1.5$이다.

ⅰ) $\displaystyle k\le1.5$인 경우.위와 같이 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PQ}_2\mathrm R_2$의 내접원이 사각형 $\displaystyle \mathrm Q_1\mathrm Q_2\mathrm R_2\mathrm R_1$에 포함된다. 이때 원의 반지름은 $\displaystyle r=\frac{2\sqrt3k}{3(k+1)}$이다. 원의 넓이는 $\displaystyle \frac{4k^2\pi}{3(k+1)^2}$이고 $\displaystyle \cos(\angle\mathrm{PMP}^{\prime})=\frac{\sqrt3}3$이므로, 이 원의 평면 ABCD로의 정사영의 넓이는$\displaystyle (\text{원의 넓이})\times\cos(\angle\mathrm{PMP}^{\prime})=\frac{4k^2\pi}{3(k+1)^2}\times\frac{\sqrt3}3=\frac{4\sqrt3k^2\pi}{9(k+1)^2}$이다.ⅱ) $\displaystyle k>1.5$인 경우.이 경우, 사각형 $\displaystyle \mathrm Q_1\mathrm Q_2\mathrm R_2\mathrm R_1$에 포함되는 최대 지름을 갖는 원의 지름은 $\displaystyle \overline{\mathrm M_1\mathrm M_2}$이다. 즉, 최대 지름은 $\displaystyle \frac{2\sqrt3}{k+1}$이고, 원의 넓이는 $\displaystyle \frac{3\pi}{(k+1)^2}$이다. $\displaystyle \cos(\angle\mathrm{PMP}^{\prime})=\frac{\sqrt3}3$이므로, 이 원의 평면 ABCD로의 정사영의 넓이는$\displaystyle (\text{원의 넓이})\times\cos(\angle\mathrm{PMP}^{\prime})=\frac{3\pi}{(k+1)^2}\times\frac{\sqrt3}3=\frac{\sqrt3\pi}{(k+1)^2}$이다.