의·약학계 2번

[2-1]$\displaystyle \angle\mathrm{ADB}$와 $\displaystyle \angle\mathrm{CDE}$는 맞꼭지각으로 서로 같고, 주어진 조건에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{CE}}=1$이다.$\displaystyle \triangle\mathrm{CDE}$의 외접원의 반지름의 길이를 $\displaystyle R$라 하면 사인법칙에 의해$\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{CE}}}{\sin(\angle\mathrm{CDE})}=\frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin(\angle\mathrm{ADB})}=2R$이므로 $\displaystyle \triangle\mathrm{ADB}$의 외접원의 반지름의 길이도 $\displaystyle R$이다.

또한 $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}}=x\;(0<x<1)$라 하면 코사인법칙에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}}^2=x^2+1^2-2x\cos\frac\pi3=x^2-x+1$이다.즉, $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}}=\sqrt{x^2-x+1}$이다.

사인법칙에 의해 $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{BD}}}{\sin(\angle\mathrm{BAD})}=\frac{\overline{\mathrm{BD}}}{\sin\frac\pi3}=\frac{\sqrt{x^2-x+1}}{\frac{\sqrt3}2}=2R$이므로 $\displaystyle R=\sqrt{\frac{x^2-x+1}3}$이다.

[2-2]$\displaystyle \overline{\mathrm{CB}}=\overline{\mathrm{CA}}=\overline{\mathrm{CE}}=1$이므로 점 A, 점 B, 점 E는 모두 점 C를 중심으로 하는 반지름의 길이가 $\displaystyle 1$인 원 위의 점이다.직선 AC가 이 원과 만나는 점 중 A가 아닌 점을 F라 하자.$\displaystyle \overline{\mathrm{AD}}=x\;(0<x<1)$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{CD}}=1-x$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{DF}}=2-x$이다.따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}}\times\overline{\mathrm{DF}}=\overline{\mathrm{BD}}\times\overline{\mathrm{DE}}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{DE}}=\frac{x(2-x)}{\sqrt{x^2-x+1}}$이다.

또한 $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{CE}}}{\sin(\angle\mathrm{CDE})}=2R$이므로 $\displaystyle \sin(\angle\mathrm{CDE})=\frac{\overline{\mathrm{CE}}}{2R}=\frac12\sqrt{\frac3{x^2-x+1}}$이다.

이때 $\displaystyle \triangle\mathrm{CDE}$의 넓이를 $\displaystyle S$라 하면$\displaystyle \begin{aligned}S&=\frac12\overline{\mathrm{DE}}\times\overline{\mathrm{CD}}\times\sin(\angle\mathrm{CDE})\\&=\frac12\times\frac{x(2-x)}{\sqrt{x^2-x+1}}\times(1-x)\times\frac12\sqrt{\frac3{x^2-x+1}}=\frac{\sqrt3x(1-x)(2-x)}{4(x^2-x+1)}\end{aligned}$

그러므로 $\displaystyle S\times\overline{\mathrm{BD}}^2=\frac{\sqrt3}4x(1-x)(2-x)$이다.$\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt3}4x(1-x)(2-x)$라 하면, $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{\sqrt3}4(3x^2-6x+2)$이고, $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$에서 $\displaystyle x=\frac{3\pm\sqrt3}3$이다.이때 점 D는 선분 AC 위의 양 끝점점이 아닌 임의의 점이므로 $\displaystyle 0<x<1$이다.Correction. ‘끝점점’은 ‘끝점’의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 열린구간 $\displaystyle (0,1)$에서 함수 $\displaystyle f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내고 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프를 그리면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|ccccc}x&0&\cdots&1-\frac{\sqrt3}3&\cdots&1\\\hline f^{\prime}(x)&&+&0&-&\\\hline f(x)&0&\nearrow&\frac16&\searrow&0\end{array}$