의·약학계 1번

[1-1]$\displaystyle P(x)=2x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$라 하자.양수 $\displaystyle x$에 대하여, $\displaystyle \log P(x)$와 $\displaystyle \log P\left(\frac1x\right)$가 진수조건을 만족해야 하므로 $\displaystyle P(x)>0$이어야 한다.$\displaystyle \log P(x)-\log P\left(\frac1x\right)=3\log x$이므로$\displaystyle \log\left(\frac{P(x)}{P\left(\frac1x\right)}\right)=\log\left(x^n\cdot\frac{2x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0}{2+a_{n-1}x+\cdots+a_0x^n}\right)=\log x^3$이고$\displaystyle x^n\cdot\frac{2x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0}{2+a_{n-1}x+\cdots+a_0x^n}=x^3$

이다. 따라서$\displaystyle 2x^{2n}+a_{n-1}x^{2n-1}+\cdots+a_0x^n=a_0x^{n+3}+\cdots+a_{n-1}x^4+2x^3$이고$\displaystyle 3\le2n\le n+3$이다. 위 조건을 만족시키는 정수 $\displaystyle n$은 2와 3이다.

(ⅰ) $\displaystyle n=2$인 경우양수 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle 2x^2+a_1x+a_0=a_0x^3+a_1x^2+2x$이므로 $\displaystyle a_0=0$이고 $\displaystyle a_1=2$이다. 따라서 $\displaystyle P(x)=2x^2+2x$이고, 이 다항함수 $\displaystyle P(x)$는 주어진 조건을 모두 만족시킨다.

(ⅱ) $\displaystyle n=3$인 경우양수 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle 2x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=a_0x^3+a_1x^2+a_2x+2$이므로 $\displaystyle a_0=2$이고 $\displaystyle a_2=a_1$이다. 즉,$\displaystyle P(x)=2x^3+a_1x^2+a_1x+2$이다. 이때,$\displaystyle P(1)=4+2a_1>0,\quad P\left(\frac12\right)=\frac94+\frac{3a_1}4<3$을 만족시키는 정수 $\displaystyle a_1$은 $\displaystyle -1$과 $\displaystyle 0$뿐이므로 $\displaystyle P(x)=2x^3-x^2-x+2$이거나 $\displaystyle P(x)=2x^3+2$이다.이 두 다항함수 모두 양수 $\displaystyle x$에 대하여 양의 값을 가진다.(ⅰ)과 (ⅱ)에 의해 주어진 조건을 모두 만족시키는 최고차항의 계수가 2인 다항함수 $\displaystyle P(x)$는 다음과 같다.$\displaystyle 2x^2+2x,\quad2x^3-x^2-x+2,\quad2x^3+2$

[1-2]양수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle \log Q(x)$와 $\displaystyle \log Q\left(\frac1x\right)$가 진수조건을 만족해야 하므로 $\displaystyle Q(x)>0$이어야 한다.따라서 $\displaystyle a>0$이고 $\displaystyle b>0$이다.Comment. $\displaystyle a>0$, $\displaystyle b>0$은 진수조건뿐 아니라 뒤에서 구한 $\displaystyle a=b$를 함께 이용한 결과다.$\displaystyle \log Q(x)-\log Q\left(\frac1x\right)=2\log x$이므로$\displaystyle \log\left(\frac{Q(x)}{Q\left(\frac1x\right)}\right)=\log\left(x^2\cdot\frac{ax^2+b}{a+bx^2}\right)=\log x^2$이고$\displaystyle x^2\cdot\frac{ax^2+b}{a+bx^2}=x^2$, 즉, $\displaystyle ax^4+bx^2=bx^4+ax^2$이다.$\displaystyle a=b$이고 $\displaystyle Q(x)=ax^2+a$이다.

닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$에서 $\displaystyle Q(x)$의 최솟값은 $\displaystyle a$이고 최댓값은 $\displaystyle 2a$이므로,

$\displaystyle 10^{-2a}\le y\le10^{-a}$인 실수 $\displaystyle y$에 대하여,$\displaystyle 10^{-Q(x)}=y$를 만족시키는 $\displaystyle x$가 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$에 존재한다.따라서 조건 $\displaystyle f\left(10^{-Q(x)}\right)=1$에 의해 $\displaystyle 10^{-2a}\le y\le10^{-a}$일 때, $\displaystyle f(y)=1$이다.

제시문 (나), (다)와 조건 $\displaystyle f(y)\ge0$로부터$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^1 f(y)\,dy&=\int_0^{10^{-2a}}f(y)\,dy+\int_{10^{-2a}}^{10^{-a}}f(y)\,dy+\int_{10^{-a}}^1f(y)\,dy\\&=\int_0^{10^{-2a}}f(y)\,dy+\int_{10^{-2a}}^{10^{-a}}1\,dy+\int_{10^{-a}}^1f(y)\,dy\\&\ge\int_{10^{-2a}}^{10^{-a}}1\,dy=\frac1{10^a}-\frac1{10^{2a}}\end{aligned}$이므로부등식 $\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx\ge\frac1{10^a}-\frac1{10^{2a}}$이 성립한다.