자연계열 미적분

[미적분-1]$\displaystyle f(x)=\left(1+\frac1x\right)^{x+\alpha}$의 양변에 자연로그를 취하면 $\displaystyle \ln f(x)=(x+\alpha)\ln\left(1+\frac1x\right)$위 식의 양변을 $\displaystyle x$에 대해 미분하면 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\ln\left(1+\frac1x\right)-\frac{x+\alpha}{x^2+x}$이다.

$\displaystyle g(x)=\ln\left(1+\frac1x\right)-\frac{x+\alpha}{x^2+x}$라 하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=f(x)g(x)$이고 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}g(x)=0$이다.

[미적분-2]$\displaystyle f^{\prime}(x)=f(x)g(x)$이고 $\displaystyle x>0$에서 $\displaystyle f(x)>0$이므로 $\displaystyle g(x)$의 부호를 확인하면 된다.$\displaystyle g(x)=\ln\left(1+\frac1x\right)-\frac{x+\alpha}{x^2+x}$에서 $\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac{(2\alpha-1)x+\alpha}{(x^2+x)^2}$

(ⅰ) $\displaystyle \alpha\le0$인 경우$\displaystyle x>0$에서 $\displaystyle g^{\prime}(x)<0$이므로 $\displaystyle x>0$에서 $\displaystyle g(x)$는 감소한다.이때 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}g(x)=0$이므로 $\displaystyle x>0$에서 $\displaystyle g(x)>0$이고 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이다.따라서 함수 $\displaystyle f(x)$는 열린구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 증가한다.

(ⅱ) $\displaystyle \alpha\ge\frac12$인 경우$\displaystyle x>0$에서 $\displaystyle g^{\prime}(x)>0$이므로 $\displaystyle x>0$에서 $\displaystyle g(x)$는 증가한다.이때 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}g(x)=0$이므로 $\displaystyle x>0$에서 $\displaystyle g(x)<0$이고 $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$이다.따라서 함수 $\displaystyle f(x)$는 열린구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 감소한다.

[미적분-3]$\displaystyle \alpha=\frac13$일 때, $\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac{-\frac13x+\frac13}{(x^2+x)^2}=0$에서 $\displaystyle g^{\prime}(1)=0$이고$\displaystyle x<1$에서 $\displaystyle g^{\prime}(x)>0$, $\displaystyle x>1$에서 $\displaystyle g^{\prime}(x)<0$이다.또, 함수 $\displaystyle g(x)$의 극댓값 $\displaystyle g(1)=\ln2-\frac23>0$이다.

$\displaystyle \lim_{x\to\infty}g(x)=0$이고 $\displaystyle x>1$에서 $\displaystyle g(x)$는 감소하므로 $\displaystyle x>1$에서 $\displaystyle g(x)>0$이 항상 성립한다.따라서, 열린구간 $\displaystyle (1,\infty)$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이고 함수 $\displaystyle f(x)$는 증가하므로 열린구간 $\displaystyle (1,\infty)$에서 함수 $\displaystyle f(x)$의 극솟값은 존재하지 않는다.

한편, $\displaystyle g\left(\frac13\right)=\ln4-\frac32<0$이고 함수 $\displaystyle g(x)$는 닫힌구간 $\displaystyle \left[\frac13,1\right]$에서 연속이므로 제시문 (나)에 의해 열린구간 $\displaystyle \left(\frac13,1\right)$에서 $\displaystyle g(c)=0$인 $\displaystyle c$가 적어도 하나 존재한다.

이때, 열린구간 $\displaystyle (0,1)$에서 $\displaystyle g^{\prime}(x)>0$이므로 $\displaystyle g(x)$는 이 구간에서 증가한다.그러므로, 열린구간 $\displaystyle \left(\frac13,c\right)$에서 $\displaystyle g(x)<0$이고 열린구간 $\displaystyle (c,1)$에서 $\displaystyle g(x)>0$이다.

즉, $\displaystyle f^{\prime}(c)=0\;\left(\frac13<c<1\right)$이고 $\displaystyle x=c$의 좌우에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=c$에서 유일한 극솟값 $\displaystyle f(c)$를 갖는다.