자연계열 1번

[1-1]두 곡선 $\displaystyle C_1,C_2$의 교점의 개수는 연립방정식$\displaystyle \begin{cases}y=\dfrac12x^2+k-2&\cdots\text{①}\\x^2+(y-k)^2=r^2&\cdots\text{②}\end{cases}$을 동시에 만족하는 순서쌍 $\displaystyle (x,y)$의 개수와 같다.①을 ②에 대입하면$\displaystyle x^2+\left\{\left(\frac12x^2+k-2\right)-k\right\}^2=r^2$$\displaystyle x^4-4x^2+16-4r^2=0\quad\cdots\text{③}$이다. ①에서 $\displaystyle y$는 $\displaystyle x$의 값에 따라 유일하게 결정되므로 $\displaystyle N(r)$는 ③을 만족하는 $\displaystyle x$의 개수와 같다.$\displaystyle X=x^2$으로 치환하면 $\displaystyle X^2-4X+16-4r^2=0$이고, 이 이차방정식의 판별식은$\displaystyle D/4=4-(16-4r^2)=4(r^2-3)$이다. 따라서$\displaystyle r^2-3<0$일 때 실수 $\displaystyle X$의 값은 존재하지 않는다.　⋯ i)$\displaystyle r^2-3=0$일 때 실수 $\displaystyle X$의 값은 오직 하나를 갖는다.　⋯ ii)$\displaystyle r^2-3>0$일 때 실수 $\displaystyle X$의 값은 서로 다른 2개를 갖는다.　⋯ iii)i) $\displaystyle r^2-3<0$ 즉, $\displaystyle 0<r<\sqrt3$이면 $\displaystyle N(r)=0$

ii) $\displaystyle r^2-3=0$ 즉, $\displaystyle r=\sqrt3$이면$\displaystyle X^2-4X+4=(X-2)^2=0$.따라서 $\displaystyle X=2$이고 이때의 $\displaystyle x=\pm\sqrt2$이므로 $\displaystyle N(r)=2$　⋯ 【※】

iii) $\displaystyle r^2-3>0$ 즉, $\displaystyle r>\sqrt3$일 때$\displaystyle x^2=2+2\sqrt{r^2-3}$ 또는 $\displaystyle x^2=2-2\sqrt{r^2-3}$이다.① $\displaystyle 0<r^2-3<1$ 즉, $\displaystyle \sqrt3<r<2$이면$\displaystyle 2-2\sqrt{r^2-3}>0$이 되어 이차방정식 $\displaystyle x^2=2+2\sqrt{r^2-3}$과 $\displaystyle x^2=2-2\sqrt{r^2-3}$이 각각 서로 다른 두 개의 실수 $\displaystyle x$의 값을 가지므로 $\displaystyle N(r)=4$

② $\displaystyle r^2-3=1$ 즉, $\displaystyle r=2$이면$\displaystyle x^2=4$ 또는 $\displaystyle x^2=0$이므로 $\displaystyle x=\pm2$ 또는 $\displaystyle x=0$이다. 따라서 $\displaystyle N(r)=3$

③ $\displaystyle r^2-3>1$ 즉, $\displaystyle r>2$이면$\displaystyle 2-2\sqrt{r^2-3}<0$이 되어 $\displaystyle x^2=2-2\sqrt{r^2-3}$를 만족하는 실수 $\displaystyle x$의 값은 존재하지 않고,이차방정식 $\displaystyle x^2=2+2\sqrt{r^2-3}$은 서로 다른 두 개의 실수 $\displaystyle x$의 값을 가지므로 $\displaystyle N(r)=2$

[1-2]직선 $\displaystyle l$과 곡선 $\displaystyle C_1$의 교점의 개수를 $\displaystyle n_1$,직선 $\displaystyle l$과 곡선 $\displaystyle C_2$의 교점의 개수를 $\displaystyle n_2$,두 곡선 $\displaystyle C_1,C_2$와 직선 $\displaystyle l$이 동시에 지나는 점의 개수를 $\displaystyle n_3$라 하면도형 $\displaystyle C$와 직선 $\displaystyle l$의 교점의 개수는 $\displaystyle n_1+n_2-n_3$와 같다.i) 직선 $\displaystyle l$과 곡선 $\displaystyle C_1$의 교점의 개수는 연립방정식 $\displaystyle \begin{cases}y=\dfrac12x^2+k-2\\y=kx+k-6\end{cases}$을 동시에 만족하는 순서쌍 $\displaystyle (x,y)$의 개수와 같다.$\displaystyle \frac12x^2+k-2=kx+k-6$이므로 $\displaystyle x^2-2kx+8=0$이다.이 이차방정식의 판별식은 $\displaystyle D/4=k^2-8$이므로$\displaystyle n_1=\begin{cases}2&(k<-\sqrt8\text{ 또는 }k>\sqrt8)\\1&(k=\pm\sqrt8)\\0&(-\sqrt8<k<\sqrt8)\end{cases}$

ii) 직선 $\displaystyle l$과 곡선 $\displaystyle C_2$의 교점의 개수는 연립방정식 $\displaystyle \begin{cases}x^2+(y-k)^2=3\\y=kx+k-6\end{cases}$을 동시에 만족하는 순서쌍 $\displaystyle (x,y)$의 개수와 같다.$\displaystyle x^2+(kx-6)^2=3$이므로 $\displaystyle (k^2+1)x^2-12kx+33=0$이다.이 이차방정식의 판별식은 $\displaystyle D/4=3(k^2-11)$이므로$\displaystyle n_2=\begin{cases}2&(k<-\sqrt{11}\text{ 또는 }k>\sqrt{11})\\1&(k=\pm\sqrt{11})\\0&(-\sqrt{11}<k<\sqrt{11})\end{cases}$

iii) 【※】에 의해서 두 곡선 $\displaystyle C_1,C_2$는 두 점 $\displaystyle (\sqrt2,k-1),(-\sqrt2,k-1)$에서 만난다.이 점이 직선 $\displaystyle l:y=kx+k-6$을 지나면$\displaystyle k-1=\pm\sqrt2k+k-6$을 만족하므로 $\displaystyle k=\pm\frac5{\sqrt2}=\pm\frac{5\sqrt2}2$가 되어$\displaystyle n_3=\begin{cases}1&\left(k=\pm\dfrac{5\sqrt2}2\right)\\0&\left(k\ne\pm\dfrac{5\sqrt2}2\right)\end{cases}$

i), ii), iii)에 의해서 $\displaystyle n_1+n_2-n_3=3$이 되는 경우는① $\displaystyle n_1=2,\;n_2=1,\;n_3=0$일 때 $\displaystyle k=\pm\sqrt{11}$② $\displaystyle n_1=1,\;n_2=2,\;n_3=0$일 때 실수 $\displaystyle k$의 값은 존재하지 않는다.③ $\displaystyle n_1=2,\;n_2=2,\;n_3=1$일 때 $\displaystyle k=\pm\frac{5\sqrt2}2$그러므로 도형 $\displaystyle C$와 직선 $\displaystyle l$의 교점의 개수가 3이 되는 $\displaystyle k$의 값은 $\displaystyle k=\pm\sqrt{11},\;k=\pm\frac{5\sqrt2}2$.