의·약학계 미적분

[미적분-1]$\displaystyle \begin{aligned} f^{\prime}(x) &=nx^{n-1}e^{1-x}-x^{n}e^{1-x}=(nx^{n-1}-x^{n})e^{1-x} \\\\ f^{\prime\prime}(x) &=\left\{n(n-1)x^{n-2}-nx^{n-1}\right\}e^{1-x}-\left(nx^{n-1}-x^{n}\right)e^{1-x} \\\\ &=x^{n-2}e^{1-x}\left(x^{2}-2nx+n^{2}-n\right) \end{aligned}$따라서 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=0$을 만족시키는 두 양의 실근 $\displaystyle \alpha,\beta$는 근과 계수와의 관계에 의해 $\displaystyle \alpha+\beta=2n$, $\displaystyle \alpha\beta=n^{2}-n$이다.

이때, $\displaystyle f(\alpha)=\alpha^{n}e^{1-\alpha}$, $\displaystyle f(\beta)=\beta^{n}e^{1-\beta}$ 이므로$\displaystyle f(\alpha)f(\beta)=(\alpha\beta)^{n}e^{2-\alpha-\beta}=\{n(n-1)\}^{n}e^{2-2n}$ 이다.따라서$\displaystyle \begin{aligned} \left\{\frac{{}_{4n}\mathrm{P}_{2n}}{f(\alpha)f(\beta)}\right\}^{\frac{1}{n}} &=\left\{\frac{4n(4n-1)\cdots(2n+1)}{n^{n}(n-1)^{n}e^{2-2n}}\right\}^{\frac{1}{n}} \\\\ &=\left\{\frac{1}{e^{2-2n}}\times\frac{(3n+1)(3n+2)\cdots(3n+n)}{n^{n}}\times\frac{(2n+1)(2n+2)\cdots(2n+n)}{(n-1)^{n}}\right\}^{\frac{1}{n}} \\\\ &=\left\{\frac{1}{e^{2-2n}}\times\left(\frac{3n+1}{n}\times\frac{3n+2}{n}\times\cdots\times\frac{3n+n}{n}\right)\times\left(\frac{2n+1}{n-1}\times\frac{2n+2}{n-1}\times\cdots\times\frac{2n+n}{n-1}\right)\right\}^{\frac{1}{n}} \end{aligned}$

이고, 양변에 자연로그를 취하면$\displaystyle \begin{aligned} \ln\left(\frac{{}_{4n}\mathrm{P}_{2n}}{f(\alpha)f(\beta)}\right)^{\frac{1}{n}} &=\frac{1}{n}\left\{\ln\frac{1}{e^{2-2n}}+\sum_{k=1}^{n}\ln\left(\frac{3n+k}{n}\right)+\sum_{k=1}^{n}\ln\left(\frac{2n+k}{n-1}\right)\right\} \\\\ &=\frac{1}{n}\left\{2n-2+\sum_{k=1}^{n}\ln\left(3+\frac{k}{n}\right)+\sum_{k=1}^{n}\ln\left(2+\frac{k}{n}\right)+n\ln\frac{n}{n-1}\right\} \end{aligned}$이다. 정적분과 급수의 합 사이의 관계에 의해$\displaystyle \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\ln\left(\frac{{}_{4n}\mathrm{P}_{2n}}{f(\alpha)f(\beta)}\right)^{\frac{1}{n}} &=\lim_{n\to\infty}\left\{2-\frac{2}{n}+\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\ln\left(3+\frac{k}{n}\right)+\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\ln\left(2+\frac{k}{n}\right)+\ln\frac{n}{n-1}\right\} \\\\ &=2+\int_{2}^{3}\ln x\,dx+\int_{3}^{4}\ln x\,dx=2+\int_{2}^{4}\ln x\,dx \\\\ &=2+\Biggl[x\ln x-x\Biggr]_{2}^{4}=2+(4\ln 4-4)-(2\ln 2-2)=6\ln 2 \end{aligned}$

따라서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{{}_{4n}\mathrm{P}_{2n}}{f(\alpha)f(\beta)}\right)^{\frac{1}{n}}=2^{6}=64$ 이다.

[미적분-2]$\displaystyle f^{\prime}(x)=nx^{n-1}e^{1-x}-x^{n}e^{1-x}=(n-x)x^{n-1}e^{1-x}$이므로$\displaystyle x\ge 0$에서 $\displaystyle f(x)$의 증감표는 아래와 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c} x & 0 & \cdots & n & \cdots \\\\ \hline f^{\prime}(x) & 0 & + & 0 & - \\\\ \hline f(x) & 0 & \nearrow & & \searrow \end{array}$Caution. 일반식을 구한 뒤에는 적용 범위와 작은 경우의 예외를 확인해야 한다: $\displaystyle n=1$이면 $\displaystyle f(x)=xe^{1-x}$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(0)=e$이다. 증감표의 $\displaystyle f^{\prime}(0)=0$은 $\displaystyle n\ge2$일 때 성립한다. 이 경우를 따로 확인해도 $\displaystyle x=n$에서 최댓값을 갖는다는 결론과 뒤의 부등식은 유지된다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

따라서, $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=n$에서 극댓값 $\displaystyle f(n)=n^{n}e^{1-n}$을 가진다.이는 $\displaystyle x\ge 0$에서 $\displaystyle f(x)$의 최댓값이 된다.이제 $\displaystyle n^{n}e^{1-n}\le n!$임을 보이자.(ⅰ) $\displaystyle n=1$일 때 (좌변)$\displaystyle =1^{1}e^{0}=1$, (우변)$\displaystyle =1!=1$이므로 성립한다.(ⅱ) $\displaystyle n\ge 2$일 때$\displaystyle y=\ln x$는 증가함수이므로 $\displaystyle \int_{k-1}^{k}\ln x\,dx<\ln k$이다. (단, $\displaystyle k=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$)$\displaystyle k$에 $\displaystyle 2,\ 3,\ \cdots,\ n$을 차례로 대입하여 더하면$\displaystyle \sum_{k=2}^{n}\int_{k-1}^{k}\ln x\,dx<\sum_{k=2}^{n}\ln k$이다.

좌변을 계산하면, $\displaystyle \int_{1}^{n}\ln x\,dx=\Biggl[x\ln x-x\Biggr]_{1}^{n}=n\ln n-n+1=\ln n^{n}e^{1-n}$이고,우변을 계산하면, $\displaystyle \ln 2+\ln 3+\cdots+\ln n=\ln(n!)$이다.따라서, $\displaystyle \ln n^{n}e^{1-n}\le\ln n!$이다. 즉, $\displaystyle n^{n}e^{1-n}\le n!$이다.(ⅰ)과 (ⅱ)에 의해 $\displaystyle n^{n}e^{1-n}\le n!$이다. $\displaystyle (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$즉, $\displaystyle x^{n}e^{1-x}\le n^{n}e^{1-n}\le n!$이다.