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부산대 2023학년도 수시 자연계열 기하 · mathesis.kr/archive/pusan/2023su/jayeon_4

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【선택문항 유형2(기하)】다음 제시문을 이용하여 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

(가) 평면 β\displaystyle \beta 위의 도형의 넓이를 S\displaystyle S, 이 도형의 평면 α\displaystyle \alpha 위로의 정사영의 넓이를 S′\displaystyle S^{\prime}이라 할 때,두 평면 α,β\displaystyle \alpha,\beta가 이루는 각의 크기를 θ  (0∘≤θ≤90∘)\displaystyle \theta\;(0^\circ\le\theta\le90^\circ)라고 하면 S′=Scos⁡θ\displaystyle S^{\prime}=S\cos\theta이다.

(나) 삼각형 ABC의 세 변의 길이가 a,b,c\displaystyle a,b,c일 때 다음이 성립한다.a2=b2+c2−2bccos⁡A\displaystyle a^2=b^2+c^2-2bc\cos Ab2=c2+a2−2cacos⁡B\displaystyle b^2=c^2+a^2-2ca\cos Bc2=a2+b2−2abcos⁡C\displaystyle c^2=a^2+b^2-2ab\cos C

삼각형 ABC와 세 변의 길이

[그림1]과 같이 한 변의 길이가 6인 정사각형 ABCD의 각 변에 반지름의 길이가 2인 네 원 C1,C2,C3,C4\displaystyle C_1,C_2,C_3,C_4의 일부가 붙어 있는 모양의 종이가 있다. 이때 원 C1\displaystyle C_1은 선분 AB의 수직이등분선에 대하여 대칭이고, 원 C1,C2\displaystyle C_1,C_2는 직선 AC에 대하여 각각 원 C4,C3\displaystyle C_4,C_3에 대칭이며, 원 C1,C4\displaystyle C_1,C_4는 직선 BD에 대하여 각각 원 C2,C3\displaystyle C_2,C_3에 대칭이다. 원 C1\displaystyle C_1의 중심을 P라 하고, 원 C1\displaystyle C_1이 선분 AB와 만나는 두 점을 각각 M, N이라 하자. 또한 선분 MN의 중점을 Q, 반직선 QP와 원 C1\displaystyle C_1이 만나는 점을 R, 점 R를 직선 BD에 대하여 대칭이동한 점을 S라 하자.이 종이에서 [그림2]와 같이 선분 AB를 접는 선으로 하여 원 C1\displaystyle C_1의 일부를 접어 올린 도형을 V1\displaystyle V_1이라 하고, 같은 방식으로 선분 BC, CD, DA를 접는 선으로 하여 각각 원 C2,C3,C4\displaystyle C_2,C_3,C_4의 일부를 접어 올린 도형을 순서대로 V2,V3,V4\displaystyle V_2,V_3,V_4라 하자. 이때 정사각형 ABCD와 도형 Vn  (n=1,2,3,4)\displaystyle V_n\;(n=1,2,3,4)이 이루는 각의 크기는 같고, 1 이상 3 이하의 자연수 n\displaystyle n에 대하여 도형 Vn\displaystyle V_n과 Vn+1\displaystyle V_{n+1}의 테두리는 각각 한 점에서 만난다. 그리고 도형 V1\displaystyle V_1 위의 점 R와 V2\displaystyle V_2 위의 점 S 사이의 거리는 2\displaystyle \sqrt2이다. (단, 종이의 두께는 고려하지 않는다.)

원 일부가 붙은 종이와 접어 올린 도형

다음 물음에 답하시오.

[기하-1] 선분 PQ의 길이를 구하시오. (단, 0<PQ‾<2\displaystyle 0<\overline{\mathrm{PQ}}<2) (15점)

[기하-2] [그림2]에서 도형 V2\displaystyle V_2가 포함된 평면을 α\displaystyle \alpha라 하자. 삼각형 PMN의 평면 α\displaystyle \alpha 위로의 정사영의 넓이를 구하시오. (15점)

해설강의 준비중

심화 종이접기와 이면각

관련 개념강의 준비중

부산대 2023학년도 수시 자연계열 기하 · mathesis.kr/archive/pusan/2023su/jayeon_4

+3점 · 도형 V1\displaystyle V_1과 접하는 사다리꼴 ABFE에 대하여 RF‾=1\displaystyle \overline{\mathrm{RF}}=1임을 나타낼 수 있다.

[기하-1] AE‾,  EF‾,  FB‾\displaystyle \overline{\mathrm{AE}},\;\overline{\mathrm{EF}},\;\overline{\mathrm{FB}}에 도형 V1\displaystyle V_1이 접하도록 사각뿔대 ABCD-EFGH를 만들면 다음과 같다.

사각뿔대 ABCD-EFGH와 도형 V₁, V₂

RS‾=2\displaystyle \overline{\mathrm{RS}}=\sqrt2일 때, △RFS\displaystyle \triangle\mathrm{RFS}는 ∠F=90∘\displaystyle \angle\mathrm F=90^\circ인 직각이등변삼각형이므로 RF‾=1\displaystyle \overline{\mathrm{RF}}=1이다.도형 V1\displaystyle V_1과 도형 V2\displaystyle V_2가 만나는 점을 T라 할 때, 점 F에서 도형 V1\displaystyle V_1에 그은 접선의 길이는 같으므로 RF‾=1\displaystyle \overline{\mathrm{RF}}=1이다.Comment. 대학 답안은 RF‾=1\displaystyle \overline{\mathrm{RF}}=1을 구한 뒤, 이어지는 FB‾\displaystyle \overline{\mathrm{FB}}의 길이 계산에서 FT‾=1\displaystyle \overline{\mathrm{FT}}=1을 사용했다. 점 F에서 같은 원에 그은 두 접선의 길이는 같으므로 FT‾=FR‾=1\displaystyle \overline{\mathrm{FT}}=\overline{\mathrm{FR}}=1이다.

+2점 · 선분 PQ의 길이를 a\displaystyle a라 할 때, 선분 BP의 길이를 a2+9\displaystyle \sqrt{a^2+9}로 나타낼 수 있다.

이때 PQ‾=a\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=a라 하자. 주어진 조건에 의해 BQ‾=3\displaystyle \overline{\mathrm{BQ}}=3이고, △PQB\displaystyle \triangle\mathrm{PQB}는 직각삼각형이므로 BP‾=a2+9\displaystyle \overline{\mathrm{BP}}=\sqrt{a^2+9}이다.

+3점 · 선분 TB의 길이를 a2+5\displaystyle \sqrt{a^2+5}로 나타낼 수 있다.

또한 PT‾\displaystyle \overline{\mathrm{PT}}와 PR‾\displaystyle \overline{\mathrm{PR}}은 원의 반지름이므로 PT‾=PR‾=2\displaystyle \overline{\mathrm{PT}}=\overline{\mathrm{PR}}=2이며, △PTB\displaystyle \triangle\mathrm{PTB}는 직각삼각형이므로 TB‾=a2+5\displaystyle \overline{\mathrm{TB}}=\sqrt{a^2+5}이다.

사다리꼴 ABFE에 접하는 원
+7점 · 직각삼각형 FUB의 각 변의 길이 사이의 관계를 (a+2)2+22=(1+a2+5)2\displaystyle (a+2)^2+2^2=(1+\sqrt{a^2+5})^2으로 나타내고, 선분 PQ의 길이가 23\displaystyle \frac23임을 구할 수 있다.

점 F에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 U라 하자. FU‾=RQ‾=a+2\displaystyle \overline{\mathrm{FU}}=\overline{\mathrm{RQ}}=a+2이고,UB‾=QB‾−QU‾=QB‾−RF‾=3−1=2\displaystyle \overline{\mathrm{UB}}=\overline{\mathrm{QB}}-\overline{\mathrm{QU}}=\overline{\mathrm{QB}}-\overline{\mathrm{RF}}=3-1=2이며,FB‾=FT‾+TB‾=1+a2+5\displaystyle \overline{\mathrm{FB}}=\overline{\mathrm{FT}}+\overline{\mathrm{TB}}=1+\sqrt{a^2+5}이다. △FUB\displaystyle \triangle\mathrm{FUB}는 직각삼각형이므로 (a+2)2+22=(1+a2+5)2\displaystyle (a+2)^2+2^2=(1+\sqrt{a^2+5})^2이다.따라서 a2+4a+8=1+2a2+5+a2+5,  4a+2=2a2+5,  (2a+1)2=a2+5,  4a2+4a+1=a2+5\displaystyle a^2+4a+8=1+2\sqrt{a^2+5}+a^2+5,\;4a+2=2\sqrt{a^2+5},\;(2a+1)^2=a^2+5,\;4a^2+4a+1=a^2+5,3a2+4a−4=0,  (3a−2)(a+2)=0,  a=23\displaystyle 3a^2+4a-4=0,\;(3a-2)(a+2)=0,\;a=\frac23 또는 a=−2\displaystyle a=-2이고, a>0\displaystyle a>0이므로 a=23\displaystyle a=\frac23이다.즉, 선분 PQ의 길이는 23\displaystyle \frac23이다.

+3점 · △PMN\displaystyle \triangle\mathrm{PMN}의 넓이가 829\displaystyle \frac{8\sqrt2}9임을 구할 수 있다.

[기하-2] 도형 V1\displaystyle V_1 위에 있는 △PMN\displaystyle \triangle\mathrm{PMN}에 대하여 PQ‾=23\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=\frac23이므로 QN‾=22−(23)2=329=423\displaystyle \overline{\mathrm{QN}}=\sqrt{2^2-\left(\frac23\right)^2}=\sqrt{\frac{32}9}=\frac{4\sqrt2}3이다.따라서 △PMN\displaystyle \triangle\mathrm{PMN}의 넓이는 423×23=829\displaystyle \frac{4\sqrt2}3\times\frac23=\frac{8\sqrt2}9이다.

평면 ABF와 평면 BCF의 이면각
+3점 · 평면 ABF와 평면 BCF의 이면각의 크기를 정의할 수 있다.

도형 V2\displaystyle V_2가 포함된 평면으로의 △PMN\displaystyle \triangle\mathrm{PMN}의 정사영을 구하기 위해서는 평면 ABF와 평면 BCF가 이루는 각의 크기를 구하면 된다. 즉, 평면 BCF 위에 있는 원의 중심을 W라 하면, 이면각의 정의에 의해 직선 PT와 직선 WT가 이루는 각을 구하면 된다.

+3점 · 평면 BCF 위에 있는 원의 중심을 W라 할 때, 선분 PW의 길이가 522\displaystyle \frac52\sqrt2임을 구할 수 있다.

점 W에서 선분 BC에 내린 수선의 발을 X라 하자. 점 P, R, S, W, F의 평면 ABC 위로의 정사영을 각각 P′, R′, S′, W′, F′이라 하면 다음 그림과 같다.

각 점의 평면 ABC 위로의 정사영

점 P는 선분 RQ를 3:1\displaystyle 3:1로 내분하는 점이므로 점 P′은 선분 R′Q를 3:1\displaystyle 3:1로 내분하는 점이다. 이때 R′Q‾=2\displaystyle \overline{\mathrm R^{\prime}\mathrm Q}=2이므로 P′Q‾=12\displaystyle \overline{\mathrm P^{\prime}\mathrm Q}=\frac12이다. 이때 점 P′을 지나고 선분 AB에 평행인 직선이 선분 F′B와 만나는 점을 Y라 하면,P′Y‾=QB‾−P′Q‾=3−12=52\displaystyle \overline{\mathrm P^{\prime}\mathrm Y}=\overline{\mathrm{QB}}-\overline{\mathrm P^{\prime}\mathrm Q}=3-\frac12=\frac52이다.PW‾=P′W′‾\displaystyle \overline{\mathrm{PW}}=\overline{\mathrm P^{\prime}\mathrm W^{\prime}}이고, △P′YW′\displaystyle \triangle\mathrm P^{\prime}\mathrm Y\mathrm W^{\prime}은 직각이등변삼각형이므로 P′W′‾=522\displaystyle \overline{\mathrm P^{\prime}\mathrm W^{\prime}}=\frac52\sqrt2이므로

+3점 · ∠PTW=θ\displaystyle \angle\mathrm{PTW}=\theta라 할 때, cos⁡θ=−916\displaystyle \cos\theta=-\frac9{16}임을 구할 수 있다.

∠PTW=θ\displaystyle \angle\mathrm{PTW}=\theta라 하면, 코사인법칙에 의해cos⁡θ=PT‾2+TW‾2−PW‾22×PT‾×TW‾=4+4−2522×2×2=−928=−916\displaystyle \cos\theta=\frac{\overline{\mathrm{PT}}^2+\overline{\mathrm{TW}}^2-\overline{\mathrm{PW}}^2}{2\times\overline{\mathrm{PT}}\times\overline{\mathrm{TW}}}=\frac{4+4-\dfrac{25}2}{2\times2\times2}=\frac{-\dfrac92}8=-\frac9{16}이다.

+3점 · 도형 V2\displaystyle V_2가 포함된 평면으로의 △PMN\displaystyle \triangle\mathrm{PMN}의 정사영의 넓이가 22\displaystyle \frac{\sqrt2}2임을 구할 수 있다.

즉, cos⁡θ<0\displaystyle \cos\theta<0이므로 θ>π2\displaystyle \theta>\frac\pi2이고, 따라서 평면 ABF와 평면 BCG가 이루는 각의 크기는 π−θ\displaystyle \pi-\theta이다.그러므로 도형 V2\displaystyle V_2가 포함된 평면으로의 △PMN\displaystyle \triangle\mathrm{PMN}의 정사영의 넓이는829×cos⁡(π−θ)=829×(−cos⁡θ)=22\displaystyle \frac{8\sqrt2}9\times\cos(\pi-\theta)=\frac{8\sqrt2}9\times(-\cos\theta)=\frac{\sqrt2}2이다.

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