자연계열 기하

[기하-1] $\displaystyle \overline{\mathrm{AE}},\;\overline{\mathrm{EF}},\;\overline{\mathrm{FB}}$에 도형 $\displaystyle V_1$이 접하도록 사각뿔대 ABCD-EFGH를 만들면 다음과 같다.

이때 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=a$라 하자. 주어진 조건에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{BQ}}=3$이고, $\displaystyle \triangle\mathrm{PQB}$는 직각삼각형이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{BP}}=\sqrt{a^2+9}$이다.

또한 $\displaystyle \overline{\mathrm{PT}}$와 $\displaystyle \overline{\mathrm{PR}}$은 원의 반지름이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PT}}=\overline{\mathrm{PR}}=2$이며, $\displaystyle \triangle\mathrm{PTB}$는 직각삼각형이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{TB}}=\sqrt{a^2+5}$이다.

점 F에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 U라 하자. $\displaystyle \overline{\mathrm{FU}}=\overline{\mathrm{RQ}}=a+2$이고,$\displaystyle \overline{\mathrm{UB}}=\overline{\mathrm{QB}}-\overline{\mathrm{QU}}=\overline{\mathrm{QB}}-\overline{\mathrm{RF}}=3-1=2$이며,$\displaystyle \overline{\mathrm{FB}}=\overline{\mathrm{FT}}+\overline{\mathrm{TB}}=1+\sqrt{a^2+5}$이다. $\displaystyle \triangle\mathrm{FUB}$는 직각삼각형이므로 $\displaystyle (a+2)^2+2^2=(1+\sqrt{a^2+5})^2$이다.따라서 $\displaystyle a^2+4a+8=1+2\sqrt{a^2+5}+a^2+5,\;4a+2=2\sqrt{a^2+5},\;(2a+1)^2=a^2+5,\;4a^2+4a+1=a^2+5$,$\displaystyle 3a^2+4a-4=0,\;(3a-2)(a+2)=0,\;a=\frac23$ 또는 $\displaystyle a=-2$이고, $\displaystyle a>0$이므로 $\displaystyle a=\frac23$이다.즉, 선분 PQ의 길이는 $\displaystyle \frac23$이다.

[기하-2] 도형 $\displaystyle V_1$ 위에 있는 $\displaystyle \triangle\mathrm{PMN}$에 대하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=\frac23$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{QN}}=\sqrt{2^2-\left(\frac23\right)^2}=\sqrt{\frac{32}9}=\frac{4\sqrt2}3$이다.따라서 $\displaystyle \triangle\mathrm{PMN}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{4\sqrt2}3\times\frac23=\frac{8\sqrt2}9$이다.

도형 $\displaystyle V_2$가 포함된 평면으로의 $\displaystyle \triangle\mathrm{PMN}$의 정사영을 구하기 위해서는 평면 ABF와 평면 BCF가 이루는 각의 크기를 구하면 된다. 즉, 평면 BCF 위에 있는 원의 중심을 W라 하면, 이면각의 정의에 의해 직선 PT와 직선 WT가 이루는 각을 구하면 된다.

점 W에서 선분 BC에 내린 수선의 발을 X라 하자. 점 P, R, S, W, F의 평면 ABC 위로의 정사영을 각각 P′, R′, S′, W′, F′이라 하면 다음 그림과 같다.

$\displaystyle \angle\mathrm{PTW}=\theta$라 하면, 코사인법칙에 의해$\displaystyle \cos\theta=\frac{\overline{\mathrm{PT}}^2+\overline{\mathrm{TW}}^2-\overline{\mathrm{PW}}^2}{2\times\overline{\mathrm{PT}}\times\overline{\mathrm{TW}}}=\frac{4+4-\dfrac{25}2}{2\times2\times2}=\frac{-\dfrac92}8=-\frac9{16}$이다.

즉, $\displaystyle \cos\theta<0$이므로 $\displaystyle \theta>\frac\pi2$이고, 따라서 평면 ABF와 평면 BCG가 이루는 각의 크기는 $\displaystyle \pi-\theta$이다.그러므로 도형 $\displaystyle V_2$가 포함된 평면으로의 $\displaystyle \triangle\mathrm{PMN}$의 정사영의 넓이는$\displaystyle \frac{8\sqrt2}9\times\cos(\pi-\theta)=\frac{8\sqrt2}9\times(-\cos\theta)=\frac{\sqrt2}2$이다.