자연계열 2번

[2-1]$\displaystyle f^{\prime}(x)=4x^3-2x=4x\left(x+\frac1{\sqrt2}\right)\left(x-\frac1{\sqrt2}\right)$이므로 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 증감표는 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}x&&-\frac1{\sqrt2}&&0&&\frac1{\sqrt2}&\\\hline f^{\prime}(x)&-&0&+&0&-&0&+\\\hline f(x)&\searrow&\frac74&\nearrow&2&\searrow&\frac74&\nearrow\end{array}$

점 $\displaystyle (t,t^4-t^2+2)$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y=(4t^3-2t)(x-t)+t^4-t^2+2$이 직선이 원점을 지나므로 $\displaystyle t=\pm1$이고 접선의 방정식은 $\displaystyle y=\pm2x$이다.

$\displaystyle y=\frac74$와 $\displaystyle y=\pm2x$에 접하는 원 $\displaystyle C$의 반지름을 $\displaystyle r$라 하면 원의 중심 $\displaystyle \left(0,\frac74-r\right)$와 직선 $\displaystyle y=2x$ 사이의 거리가 $\displaystyle r$이므로$\displaystyle \frac{\left|\dfrac74-r\right|}{\sqrt{2^2+1^2}}=r$이고 $\displaystyle r<\frac74$이므로$\displaystyle r=\frac{7(\sqrt5-1)}{16}$

[2-2][2-1]에서 $\displaystyle \mathrm A(1,2)$임을 알 수 있다.$\displaystyle S_n=\frac12\times\frac b2\times|b-q_n|$이므로 $\displaystyle \sum_{n=1}^{10}S_n=\sum_{n=1}^{10}\frac b4|b-q_n|=1$을 만족시키는 $\displaystyle b$의 존재성을 살펴보자.

$\displaystyle g(y)=\sum_{n=1}^{10}\frac y4|y-q_n|-1$이라 하면, 함수 $\displaystyle g$는 닫힌구간 $\displaystyle [0,2]$에서 연속이고

$\displaystyle g(0)=-1$$\displaystyle q_n<\frac74$이므로 $\displaystyle \sum_{n=1}^{10}q_n<\frac{35}2$$\displaystyle g(2)=\sum_{n=1}^{10}\frac12|2-q_n|-1=9-\frac12\sum_{n=1}^{10}q_n>0$$\displaystyle g(0)<0,\;g(2)>0$이므로 사잇값 정리에 의해 $\displaystyle g(c)=0$을 만족하는 $\displaystyle c$가 열린구간 $\displaystyle (0,2)$에 적어도 하나 존재한다.

따라서 $\displaystyle \sum_{n=1}^{10}S_n=1$을 만족시키는 점 P가 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}$ 위에 적어도 하나 존재한다.