의·약학계 2번

[i] $\displaystyle a=1$일 때, 함수 $\displaystyle g(x)=f(x)f(x-a)$는 $\displaystyle [-2,2)$에서$\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=0,\;x=-2$에서만 불연속이고, $\displaystyle f(x-1)$는 $\displaystyle x=1,\;x=-1$에서만 불연속이 되므로$\displaystyle g(x)$가 $\displaystyle x=0,\;x=-2,\;x=1,\;x=-1$에서 연속이 되면 $\displaystyle [-2,2)$에서 $\displaystyle g(x)$는 연속이 된다.$\displaystyle x=0$에서 $\displaystyle g(x)$는1) 함숫값 $\displaystyle g(0)=f(0)f(-1)=-4t(t+2)f(-1)$2) 좌극한 $\displaystyle \lim_{x\to0^-}g(x)=\lim_{x\to0^-}f(x)f(x-1)=t(t+2)\times f(-1)$이므로 $\displaystyle x=0$에서 $\displaystyle g(x)$가 연속이 되려면$\displaystyle -4f(-1)=f(-1)$ 즉, $\displaystyle f(-1)=(t-1)(t+1)=0,\;t=1$이다.　⋯ ①$\displaystyle x=-2$에서 $\displaystyle g(x)$는1) 함숫값 $\displaystyle g(-2)=f(-2)f(-3)=t(t-2)f(-3)$2) 좌극한 $\displaystyle \lim_{x\to-2^-}g(x)=\lim_{x\to-2^-}f(x)f(x-1)=-4t(t-2)f(-3)$이므로 $\displaystyle x=-2$에서 $\displaystyle g(x)$가 연속이 되려면$\displaystyle f(-3)=-4f(-3)$ 즉, $\displaystyle f(-3)=f(1)=-4(t-1)(t+1)=0,\;t=1$이다.　⋯ ②$\displaystyle x=1$에서 $\displaystyle g(x)$는1) 함숫값 $\displaystyle g(1)=f(1)f(0)=-4t(t+2)f(1)$2) 좌극한 $\displaystyle \lim_{x\to1^-}g(x)=\lim_{x\to1^-}f(x)f(x-1)=t(t+2)f(1)$이므로 $\displaystyle x=1$에서 $\displaystyle g(x)$가 연속이 되려면$\displaystyle -4f(1)=f(1)$ 즉, $\displaystyle f(1)=-4(t-1)(t+1)=0,\;t=1$이다.　⋯ ③$\displaystyle x=-1$에서 $\displaystyle g(x)$는1) 함숫값 $\displaystyle g(-1)=f(-1)f(-2)=t(t-2)f(-1)$2) 좌극한 $\displaystyle \lim_{x\to-1^-}g(x)=\lim_{x\to-1^-}f(x)f(x-1)=-4t(t-2)f(-1)$이므로 $\displaystyle x=-1$에서 $\displaystyle g(x)$가 연속이 되려면$\displaystyle f(-1)=-4f(-1)$ 즉, $\displaystyle f(-1)=(t-1)(t+1)=0,\;t=1$이다.　⋯ ④

따라서 ①, ②, ③, ④에 의해서$\displaystyle a=1$일 때, 함수 $\displaystyle g(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 실수 $\displaystyle t$의 집합은 $\displaystyle \{1\}$,

[ii] $\displaystyle a=1.5$일 때, 함수 $\displaystyle g(x)=f(x)f(x-a)$는 $\displaystyle [-2,2)$에서$\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=0,\;x=-2$에서만 불연속이고, $\displaystyle f(x-1.5)$는 $\displaystyle x=1.5,\;x=-0.5$에서만 불연속이 되므로$\displaystyle g(x)$가 $\displaystyle x=0,x=-2,x=1.5,x=-0.5$에서 연속이 되면 $\displaystyle [-2,2)$에서 $\displaystyle g(x)$는 연속이 된다.$\displaystyle x=0$에서 $\displaystyle g(x)$는1) 함숫값 $\displaystyle g(0)=f(0)f(-1.5)=-4t(t+2)f(-1.5)$2) 좌극한 $\displaystyle \lim_{x\to0^-}g(x)=\lim_{x\to0^-}f(x)f(x-1.5)=t(t+2)\times f(-1.5)$이므로 $\displaystyle x=0$에서 $\displaystyle g(x)$가 연속이 되려면$\displaystyle -4f(-1.5)=f(-1.5)$ 즉, $\displaystyle f(-1.5)=(t-1.5)(t+0.5)=0,\;t=1.5$이다.　⋯ ⑤$\displaystyle x=-2$에서 $\displaystyle g(x)$는1) 함숫값 $\displaystyle g(-2)=f(-2)f(-3.5)=t(t-2)f(-3.5)$2) 좌극한 $\displaystyle \lim_{x\to-2^-}g(x)=\lim_{x\to-2^-}f(x)f(x-1.5)=-4t(t-2)f(-3.5)$이므로 $\displaystyle x=-2$에서 $\displaystyle g(x)$가 연속이 되려면$\displaystyle f(-3.5)=-4f(-3.5)$즉, $\displaystyle f(-3.5)=f(0.5)=-4(t-0.5)(t+1.5)=0,\;t=0.5$이다.　⋯ ⑥

$\displaystyle x=1.5,\;x=-0.5$에서 $\displaystyle g(x)$가 연속이 되는 조건과 상관없이⑤, ⑥에 의해서 $\displaystyle a=1.5$일 때, $\displaystyle g(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 실수 $\displaystyle t$는 존재하지 않는다.그러므로$\displaystyle a=1$일 때, 함수 $\displaystyle g(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 실수 $\displaystyle t$의 집합은 $\displaystyle \{1\}$,$\displaystyle a=1.5$일 때, 함수 $\displaystyle g(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 실수 $\displaystyle t$의 집합은 $\displaystyle \varnothing$이다.

[2-2]$\displaystyle a=2$일 때

$\displaystyle a=2,\;0<t<2$이면 구간 $\displaystyle [0,2)$에서 $\displaystyle g(x)$는$\displaystyle \begin{aligned}g(x)=f(x)f(x-2)&=-4(x-t)(x-t-2)\times(x-2+t)(x+t)\\&=-4(x-t)(x+t)(x-t-2)(x+t-2)\end{aligned}$이므로

$\displaystyle h^{\prime}(t)=-4\times\left(8t^3-\frac{32}3t\right)=-32t\times\left(t^2-\frac43\right)$따라서 $\displaystyle S(t)=\int_0^2 g(x)\,dx$가 극대가 되는 $\displaystyle t$의 값은 $\displaystyle t=\frac{2\sqrt3}3$이다.Correction. $\displaystyle S(t)$는 $\displaystyle h(t)$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.