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자연계열 미적분

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부산대 2023학년도 수시 자연계열 미적분 · mathesis.kr/archive/pusan/2023su/jayeon_3

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【선택문항 유형1(미적분)】다음 제시문을 이용하여 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

(가) x=a\displaystyle x=a에서 x=b\displaystyle x=b까지의 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 길이 l\displaystyle l은 다음과 같다.l=∫ab1+{f′(x)}2 dx\displaystyle l=\int_a^b\sqrt{1+\{f^{\prime}(x)\}^2}\,dx

(나) 세 함수 f(x),g(x),h(x)\displaystyle f(x),g(x),h(x)와 a\displaystyle a에 가까운 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여 다음이 성립한다.f(x)≤h(x)≤g(x)이고 lim⁡x→af(x)=lim⁡x→ag(x)=L이면 lim⁡x→ah(x)=L\displaystyle f(x)\le h(x)\le g(x)\text{이고 }\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=L\text{이면 }\lim_{x\to a}h(x)=L

(다) 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 증가하는 연속함수 f(x)\displaystyle f(x)에 대하여 다음이 성립한다.(b−a)f(a)<∫abf(x) dx<(b−a)f(b)\displaystyle (b-a)f(a)<\int_a^b f(x)\,dx<(b-a)f(b)

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 미분가능한 함수 p(t)\displaystyle p(t)가 다음 조건을 만족시킨다.

(i) t<p(t)\displaystyle t<p(t)(ii) x=t\displaystyle x=t에서 x=p(t)\displaystyle x=p(t)까지의 곡선 y=x2\displaystyle y=x^2의 길이는 1이다.

다음 물음에 답하시오.

[미적분-1] lim⁡t→∞{p(t)−t}=0\displaystyle \lim_{t\to\infty}\{p(t)-t\}=0임을 보이시오. (10점)

[미적분-2] lim⁡t→∞t{p(t)−t}\displaystyle \lim_{t\to\infty}t\{p(t)-t\}의 값을 구하시오. (10점)

[미적분-3] lim⁡t→∞t2{1−(p′(t))2}\displaystyle \lim_{t\to\infty}t^2\{1-(p^{\prime}(t))^2\}의 값을 구하시오. (10점)

해설강의 준비중

부산대 2023학년도 수시 자연계열 미적분 · mathesis.kr/archive/pusan/2023su/jayeon_3

+4점 · 부등식 {p(t)−t}1+4t2<∫tp(t)1+4x2 dx<{p(t)−t}1+4{p(t)}2\displaystyle \{p(t)-t\}\sqrt{1+4t^2}<\int_t^{p(t)}\sqrt{1+4x^2}\,dx<\{p(t)-t\}\sqrt{1+4\{p(t)\}^2}를 구할 수 있다.

[미적분-1]y=x2\displaystyle y=x^2에서 y′=2x\displaystyle y^{\prime}=2x이므로 구간 [t,p(t)]\displaystyle [t,p(t)]에서 곡선의 길이는∫tp(t)1+(y′)2 dx=∫tp(t)1+4x2 dx=1⋯①\displaystyle \int_t^{p(t)}\sqrt{1+(y^{\prime})^2}\,dx=\int_t^{p(t)}\sqrt{1+4x^2}\,dx=1\quad\cdots\text{①}이다.1+4x2\displaystyle \sqrt{1+4x^2}이 구간 [t,p(t)]\displaystyle [t,p(t)]에서 증가하는 연속함수이므로 제시문 (다)에 의해{p(t)−t}1+4t2<∫tp(t)1+4x2 dx<{p(t)−t}1+4{p(t)}2\displaystyle \{p(t)-t\}\sqrt{1+4t^2}<\int_t^{p(t)}\sqrt{1+4x^2}\,dx<\{p(t)-t\}\sqrt{1+4\{p(t)\}^2}이다.

+4점 · 부등식 11+4{p(t)}2<p(t)−t<11+4t2\displaystyle \frac1{\sqrt{1+4\{p(t)\}^2}}<p(t)-t<\frac1{\sqrt{1+4t^2}}를 구할 수 있다.

①에 의해{p(t)−t}1+4t2<1<{p(t)−t}1+4{p(t)}2\displaystyle \{p(t)-t\}\sqrt{1+4t^2}<1<\{p(t)-t\}\sqrt{1+4\{p(t)\}^2}이고 이 부등식을 정리하면11+4{p(t)}2<p(t)−t<11+4t2⋯②\displaystyle \frac1{\sqrt{1+4\{p(t)\}^2}}<p(t)-t<\frac1{\sqrt{1+4t^2}}\quad\cdots\text{②}이다.

+2점 · 함수의 극한의 대소 관계를 이용하여 lim⁡t→∞{p(t)−t}=0\displaystyle \lim_{t\to\infty}\{p(t)-t\}=0임을 보일 수 있다.

lim⁡t→∞11+4t2=0\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac1{\sqrt{1+4t^2}}=0이고, lim⁡t→∞p(t)=∞\displaystyle \lim_{t\to\infty}p(t)=\infty이므로 lim⁡t→∞11+4{p(t)}2=0\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac1{\sqrt{1+4\{p(t)\}^2}}=0이다.따라서 제시문 (나)에 의해 lim⁡t→∞{p(t)−t}=0\displaystyle \lim_{t\to\infty}\{p(t)-t\}=0이다.

+4점 · lim⁡t→∞p(t)t=1\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{p(t)}t=1을 구할 수 있다.

[미적분-2][미적분-1]에서 lim⁡t→∞{p(t)−t}=0\displaystyle \lim_{t\to\infty}\{p(t)-t\}=0이고, lim⁡t→∞p(t)=∞\displaystyle \lim_{t\to\infty}p(t)=\infty이므로lim⁡t→∞{p(t)−t}1p(t)=lim⁡t→∞{1−tp(t)}=0\displaystyle \lim_{t\to\infty}\{p(t)-t\}\frac1{p(t)}=\lim_{t\to\infty}\left\{1-\frac t{p(t)}\right\}=0이다. 따라서 lim⁡t→∞tp(t)=1\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac t{p(t)}=1이고lim⁡t→∞p(t)t=1⋯③\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{p(t)}t=1\quad\cdots\text{③}이다.

+2점 · 부등식 t1+4{p(t)}2<t{p(t)−t}<t1+4t2\displaystyle \frac t{\sqrt{1+4\{p(t)\}^2}}<t\{p(t)-t\}<\frac t{\sqrt{1+4t^2}}를 구할 수 있다.

②의 각 변에 t\displaystyle t를 곱하면, t1+4{p(t)}2<t{p(t)−t}<t1+4t2\displaystyle \frac t{\sqrt{1+4\{p(t)\}^2}}<t\{p(t)-t\}<\frac t{\sqrt{1+4t^2}}이다.

+4점 · 함수의 극한의 대소 관계를 이용하여 lim⁡t→∞t{p(t)−t}=12\displaystyle \lim_{t\to\infty}t\{p(t)-t\}=\frac12를 구할 수 있다.

lim⁡t→∞t1+4{p(t)}2=lim⁡t→∞11t2+4(p(t)t)2=12\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac t{\sqrt{1+4\{p(t)\}^2}}=\lim_{t\to\infty}\frac1{\sqrt{\dfrac1{t^2}+4\left(\dfrac{p(t)}t\right)^2}}=\frac12이고, lim⁡t→∞t1+4t2=lim⁡t→∞11t2+4=12\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac t{\sqrt{1+4t^2}}=\lim_{t\to\infty}\frac1{\sqrt{\dfrac1{t^2}+4}}=\frac12이므로제시문 (나)에 의해 lim⁡t→∞t{p(t)−t}=12\displaystyle \lim_{t\to\infty}t\{p(t)-t\}=\frac12이다.

+4점 · ∫tp(t)1+4x2 dx=1\displaystyle \int_t^{p(t)}\sqrt{1+4x^2}\,dx=1의 양변을 미분하여 1+4{p(t)}2×p′(t)−1+4t2=0\displaystyle \sqrt{1+4\{p(t)\}^2}\times p^{\prime}(t)-\sqrt{1+4t^2}=0를 구할 수 있다.

[미적분-3]①의 양변을 t\displaystyle t에 대하여 미분하면 1+4{p(t)}2×p′(t)−1+4t2=0\displaystyle \sqrt{1+4\{p(t)\}^2}\times p^{\prime}(t)-\sqrt{1+4t^2}=0이다.

+2점 · t2{1−(p′(t))2}=4t2{{p(t)}2−t2}1+{4p(t)}2\displaystyle t^2\{1-(p^{\prime}(t))^2\}=\frac{4t^2\{\{p(t)\}^2-t^2\}}{1+\{4p(t)\}^2}로 식을 정리할 수 있다.Correction. 분모의 1+{4p(t)}2\displaystyle 1+\{4p(t)\}^2는 1+4{p(t)}2\displaystyle 1+4\{p(t)\}^2의 오기이다. {2p(t)}2=4{p(t)}2\displaystyle \{2p(t)\}^2=4\{p(t)\}^2이므로 4\displaystyle 4는 제곱 밖에 있어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

식을 정리하면 {p′(t)}2=1+4t21+4{p(t)}2,  1−{p′(t)}2=1−1+4t21+4{p(t)}2=4{p(t)}2−4t21+4{p(t)}2\displaystyle \{p^{\prime}(t)\}^2=\frac{1+4t^2}{1+4\{p(t)\}^2},\;1-\{p^{\prime}(t)\}^2=1-\frac{1+4t^2}{1+4\{p(t)\}^2}=\frac{4\{p(t)\}^2-4t^2}{1+4\{p(t)\}^2}이고,t2{1−{p′(t)}2}=4t2{{p(t)}2−t2}1+4{p(t)}2\displaystyle t^2\{1-\{p^{\prime}(t)\}^2\}=\frac{4t^2\{\{p(t)\}^2-t^2\}}{1+4\{p(t)\}^2}이다.

+4점 · lim⁡t→∞t2{1−(p′(t))2}=1\displaystyle \lim_{t\to\infty}t^2\{1-(p^{\prime}(t))^2\}=1을 구할 수 있다.

③에 의해lim⁡t→∞t2{1−(p′(t))2}=lim⁡t→∞4t{p(t)−t}tp(t)+t21+{4p(t)}2=lim⁡t→∞4t{p(t)−t}p(t)t+11t2+4(p(t)t)2=4×12×1+14=1\displaystyle \begin{aligned}\lim_{t\to\infty}t^2\{1-(p^{\prime}(t))^2\}&=\lim_{t\to\infty}4t\{p(t)-t\}\frac{tp(t)+t^2}{1+\{4p(t)\}^2}\\&=\lim_{t\to\infty}4t\{p(t)-t\}\frac{\dfrac{p(t)}t+1}{\dfrac1{t^2}+4\left(\dfrac{p(t)}t\right)^2}\\&=4\times\frac12\times\frac{1+1}4=1\end{aligned}Correction. 분모의 1+{4p(t)}2\displaystyle 1+\{4p(t)\}^2는 1+4{p(t)}2\displaystyle 1+4\{p(t)\}^2의 오기이다. {2p(t)}2=4{p(t)}2\displaystyle \{2p(t)\}^2=4\{p(t)\}^2이므로 4\displaystyle 4는 제곱 밖에 있어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다.

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