자연계열 미적분

[미적분-1]$\displaystyle y=x^2$에서 $\displaystyle y^{\prime}=2x$이므로 구간 $\displaystyle [t,p(t)]$에서 곡선의 길이는$\displaystyle \int_t^{p(t)}\sqrt{1+(y^{\prime})^2}\,dx=\int_t^{p(t)}\sqrt{1+4x^2}\,dx=1\quad\cdots\text{①}$이다.$\displaystyle \sqrt{1+4x^2}$이 구간 $\displaystyle [t,p(t)]$에서 증가하는 연속함수이므로 제시문 (다)에 의해$\displaystyle \{p(t)-t\}\sqrt{1+4t^2}<\int_t^{p(t)}\sqrt{1+4x^2}\,dx<\{p(t)-t\}\sqrt{1+4\{p(t)\}^2}$이다.

①에 의해$\displaystyle \{p(t)-t\}\sqrt{1+4t^2}<1<\{p(t)-t\}\sqrt{1+4\{p(t)\}^2}$이고 이 부등식을 정리하면$\displaystyle \frac1{\sqrt{1+4\{p(t)\}^2}}<p(t)-t<\frac1{\sqrt{1+4t^2}}\quad\cdots\text{②}$이다.

$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac1{\sqrt{1+4t^2}}=0$이고, $\displaystyle \lim_{t\to\infty}p(t)=\infty$이므로 $\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac1{\sqrt{1+4\{p(t)\}^2}}=0$이다.따라서 제시문 (나)에 의해 $\displaystyle \lim_{t\to\infty}\{p(t)-t\}=0$이다.

[미적분-2][미적분-1]에서 $\displaystyle \lim_{t\to\infty}\{p(t)-t\}=0$이고, $\displaystyle \lim_{t\to\infty}p(t)=\infty$이므로$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\{p(t)-t\}\frac1{p(t)}=\lim_{t\to\infty}\left\{1-\frac t{p(t)}\right\}=0$이다. 따라서 $\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac t{p(t)}=1$이고$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{p(t)}t=1\quad\cdots\text{③}$이다.

②의 각 변에 $\displaystyle t$를 곱하면, $\displaystyle \frac t{\sqrt{1+4\{p(t)\}^2}}<t\{p(t)-t\}<\frac t{\sqrt{1+4t^2}}$이다.$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac t{\sqrt{1+4\{p(t)\}^2}}=\lim_{t\to\infty}\frac1{\sqrt{\dfrac1{t^2}+4\left(\dfrac{p(t)}t\right)^2}}=\frac12$이고, $\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac t{\sqrt{1+4t^2}}=\lim_{t\to\infty}\frac1{\sqrt{\dfrac1{t^2}+4}}=\frac12$이므로제시문 (나)에 의해 $\displaystyle \lim_{t\to\infty}t\{p(t)-t\}=\frac12$이다.

[미적분-3]①의 양변을 $\displaystyle t$에 대하여 미분하면 $\displaystyle \sqrt{1+4\{p(t)\}^2}\times p^{\prime}(t)-\sqrt{1+4t^2}=0$이다.

식을 정리하면 $\displaystyle \{p^{\prime}(t)\}^2=\frac{1+4t^2}{1+4\{p(t)\}^2},\;1-\{p^{\prime}(t)\}^2=1-\frac{1+4t^2}{1+4\{p(t)\}^2}=\frac{4\{p(t)\}^2-4t^2}{1+4\{p(t)\}^2}$이고,$\displaystyle t^2\{1-\{p^{\prime}(t)\}^2\}=\frac{4t^2\{\{p(t)\}^2-t^2\}}{1+4\{p(t)\}^2}$이다.

③에 의해$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{t\to\infty}t^2\{1-(p^{\prime}(t))^2\}&=\lim_{t\to\infty}4t\{p(t)-t\}\frac{tp(t)+t^2}{1+4\{p(t)\}^2}\\&=\lim_{t\to\infty}4t\{p(t)-t\}\frac{\dfrac{p(t)}t+1}{\dfrac1{t^2}+4\left(\dfrac{p(t)}t\right)^2}\\&=4\times\frac12\times\frac{1+1}4=1\end{aligned}$이다.