의·약학계 기하

[기하-1]$\displaystyle \triangle\mathrm{DMF}$에서 코사인법칙에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{MF}}$는$\displaystyle \overline{\mathrm{MF}}^2=2^2+3^2-2\times2\times3\times\cos60^\circ=4+9-6=7$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{MF}}=\sqrt7$이다.

$\displaystyle \triangle\mathrm{MCF}$에서 $\displaystyle \cos(\angle\mathrm{CMF})=\frac{\overline{\mathrm{MC}}^2+\overline{\mathrm{MF}}^2-\overline{\mathrm{CF}}^2}{2\times\overline{\mathrm{MC}}\times\overline{\mathrm{MF}}}=\frac9{2\sqrt{21}}$이므로 $\displaystyle \sin(\angle\mathrm{CMF})=\frac1{2\sqrt7}$이다.한편, 점 L은 직선 MF에 내린 수선의 발이므로 삼수선의 정리에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{GL}}\perp\overline{\mathrm{MF}}$이고,$\displaystyle \overline{\mathrm{GL}}=\overline{\mathrm{MG}}\sin(\angle\mathrm{CMF})=\frac{2\sqrt3}3\times\frac1{2\sqrt7}=\frac1{\sqrt{21}}$이다.

점 G는 점 A에서 평면 BCD에 내린 수선의 발이고, 선분 AG는 정사면체의 높이이므로$\displaystyle \overline{\mathrm{AG}}=\frac{4\sqrt6}3$이므로 구하는 $\displaystyle \triangle\mathrm{AGL}$의 넓이는$\displaystyle S^2=\left(\frac12\times\overline{\mathrm{AG}}\times\overline{\mathrm{GL}}\right)^2=\left(\frac12\times\frac{4\sqrt6}3\times\frac1{\sqrt{21}}\right)^2=\frac8{63}$이다.

[기하-2](1) $\displaystyle \overline{\mathrm{EF}}$의 값이 항상 일정하므로 $\displaystyle \triangle\mathrm{XEF}$의 둘레의 길이의 최솟값은 $\displaystyle \overline{\mathrm{EX}}+\overline{\mathrm{XF}}$의 값이 최소일 때 갖는다.그림과 같이 $\displaystyle \overline{\mathrm{XE}}$를 점 X를 중심으로 하고,$\displaystyle \angle\mathrm{EXA}=\angle\mathrm E^{\prime}\mathrm{XA}$가 되도록 직선 AM을 회전축으로 하여 점 E가 평면 AFX 위의 점 E′에 오도록 하자.그러면 $\displaystyle \overline{\mathrm{EX}}+\overline{\mathrm{XF}}=\overline{\mathrm E^{\prime}\mathrm X}+\overline{\mathrm{XF}}\ge\overline{\mathrm E^{\prime}\mathrm F}$이다.따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{EX}}+\overline{\mathrm{XF}}$의 값이 최소가 되는 경우는 점 X가 $\displaystyle \overline{\mathrm E^{\prime}\mathrm F}$ 위에 있는 경우이다.

점 F에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AM}}$에 내린 수선의 발을 I라 하면$\displaystyle \overline{\mathrm{MI}}=\overline{\mathrm{MF}}\times\cos(\angle\mathrm{FMA})=\sqrt7\times\frac{\sqrt{21}}{14}=\frac{\sqrt3}2$$\displaystyle \overline{\mathrm{FI}}=\overline{\mathrm{MF}}\times\sin(\angle\mathrm{FMA})=\sqrt7\times\frac{5\sqrt7}{14}=\frac52$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{HI}}=2\sqrt3-\overline{\mathrm{MI}}-\overline{\mathrm{AH}}=\frac{\sqrt3}2$이다.한편, 점 E′의 직선 FI의 수선의 발을 N이라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{NI}}=\overline{\mathrm E^{\prime}\mathrm H}=1$과 피타고라스 정리에 의해$\displaystyle \overline{\mathrm E^{\prime}\mathrm F}=\sqrt{\left(\frac{\sqrt3}2\right)^2+\left(\frac72\right)^2}=\sqrt{13}$이다.$\displaystyle \triangle\mathrm{PHE}^{\prime}$과 $\displaystyle \triangle\mathrm{PIF}$가 닮음이므로$\displaystyle \overline{\mathrm E^{\prime}\mathrm H}:\overline{\mathrm{FI}}=1:\frac52=2:5$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm E^{\prime}\mathrm P}=\overline{\mathrm{PE}}=\frac{2\sqrt{13}}7,\;\overline{\mathrm{PF}}=\frac{5\sqrt{13}}7$이다.

한편, $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}:\overline{\mathrm{PM}}=(\overline{\mathrm{AH}}+\overline{\mathrm{HP}}):(\overline{\mathrm{MI}}+\overline{\mathrm{IP}})$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\overline{\mathrm{AP}}:\overline{\mathrm{PM}}&=\left(\sqrt3+\frac27\times\frac{\sqrt3}2\right):\left(\frac{\sqrt3}2+\frac57\times\frac{\sqrt3}2\right)\\&=4:3\end{aligned}$이다.점 M, P에서 평면 ACD 위로의 정사영을 각각 M′, P′이라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{MM}^{\prime}}=\frac{2\sqrt6}3$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PP}^{\prime}}=\frac47\times\overline{\mathrm{MM}^{\prime}}=\frac{8\sqrt6}{21}$이다.따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PE}}$의 정사영인 $\displaystyle \overline{\mathrm P^{\prime}\mathrm E}$의 길이는 직각삼각형 EPP′에서$\displaystyle \overline{\mathrm P^{\prime}\mathrm E}=\sqrt{\overline{\mathrm{PE}}^2-\overline{\mathrm{PP}^{\prime}}^2}=\sqrt{\frac{52}{49}-\frac{128}{147}}=\frac2{\sqrt{21}}=\frac{2\sqrt{21}}{21}$이다.

(2) $\displaystyle \triangle\mathrm{DEF}$에서 코사인법칙에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{EF}}$는$\displaystyle \overline{\mathrm{EF}}^2=2^2+3^2-2\times2\times3\times\cos60^\circ=4+9-6=7$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{EF}}=\sqrt7$이다.$\displaystyle \triangle\mathrm{PEF}$에서 $\displaystyle \angle\mathrm{PEF}=\alpha$라 하자.$\displaystyle \overline{\mathrm{PE}}=\frac{2\sqrt{13}}7,\;\overline{\mathrm{PF}}=\frac{5\sqrt{13}}7,\;\overline{\mathrm{EF}}=\sqrt7$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\cos\alpha&=\frac{\overline{\mathrm{PE}}^2+\overline{\mathrm{EF}}^2-\overline{\mathrm{PF}}^2}{2\times\overline{\mathrm{PE}}\times\overline{\mathrm{EF}}}\\&=\frac{\dfrac{52}{49}+7-\dfrac{325}{49}}{2\times\dfrac{2\sqrt{13}}7\times\sqrt7}=\frac5{2\sqrt{91}}\end{aligned}$이고 $\displaystyle \sin\alpha=\frac{\sqrt{339}}{2\sqrt{91}}$이다.

점 P에서 직선 EF에 내린 수선의 발을 점 Q라 하자.

한편, 삼수선의 정리에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm P^{\prime}\mathrm Q}\perp\overline{\mathrm{EF}}$이고, 평면 PEF와 평면 ACD가 이루는 각의 크기는 직선 PQ와 P′Q가 이루는 각의 크기와 같다. 그러므로 $\displaystyle \angle\mathrm{PQP}^{\prime}=\theta$이다.$\displaystyle \sin\theta=\frac{\overline{\mathrm{PP}^{\prime}}}{\overline{\mathrm{PQ}}}=\frac{\dfrac{8\sqrt6}{21}}{\dfrac{\sqrt{339}}{7\sqrt7}}=\frac{8\sqrt{42}}{3\sqrt{339}}$이므로 $\displaystyle \frac{113}{14}\sin^2\theta=\frac{64}9$이다.