수리논술, 이게 다다.

자연계열 A 1번

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세종대 2026학년도 수시 자연계열 A 1번 · mathesis.kr/archive/sejong/2026su/jayeona_1

배점230점
예상 소요 시간40분
다음 문제

문제

[문제 1] x≥0\displaystyle x\ge0에서 정의된 증가하는 연속함수 f(x)\displaystyle f(x)의 역함수 f−1(x)\displaystyle f^{-1}(x)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) x≥0\displaystyle x\ge0에서 f−1(x)\displaystyle f^{-1}(x)는 연속이다.

(나) x≥0\displaystyle x\ge0에서 ∫0xe−tf−1(t)dt=x2\displaystyle \int_0^xe^{-t}f^{-1}(t)dt=x^2이다.

(1-1) f−1(ln⁡2)\displaystyle f^{-1}(\ln2), f−1(12)\displaystyle f^{-1}(\frac12), f′(f−1(12))\displaystyle f\prime(f^{-1}(\frac12))의 값을 각각 구하시오. (70점)

(1-2) ∫0ef(x)dx\displaystyle \int_0^{\sqrt e}f(x)dx의 값을 구하시오. (80점)

(1-3) 0≤x≤4ln⁡2\displaystyle 0\le x\le4\ln2에서 g(x)=f(x)−x4\displaystyle g(x)=f(x)-\frac x4라 하자. 함수 g(x)\displaystyle g(x)가 x=α\displaystyle x=\alpha에서 최댓값을 가질 때, g(α)\displaystyle g(\alpha)를 α\displaystyle \alpha의 유리식으로 나타내시오. (80점)

해설강의 준비중

세종대 2026학년도 수시 자연계열 A 1번 · mathesis.kr/archive/sejong/2026su/jayeona_1

+20점

(1-1) x>0\displaystyle x>0일 때 (나)의 식을 미분하면 f−1(x)=2xex\displaystyle f^{-1}(x)=2xe^x을 얻고 f−1(x)\displaystyle f^{-1}(x)는 연속이므로 f−1(0)=0\displaystyle f^{-1}(0)=0이다. 이로부터 f−1(ln⁡2)=4ln⁡2\displaystyle f^{-1}(\ln2)=4\ln2

+20점

, f−1(12)=e\displaystyle f^{-1}(\frac12)=\sqrt e이다.

+30점 · f′(e)=13e\displaystyle f\prime(\sqrt e)=\frac1{3\sqrt e}

또한 역함수의 미분법에 의하여 f′(f−1(12))=1(f−1)′(12)=13e\displaystyle f\prime(f^{-1}(\frac12))=\frac1{(f^{-1})\prime(\frac12)}=\frac1{3\sqrt e}이다.

+40점 · ∫0ef(x)dx=e2−∫0122xexdx\displaystyle \int_0^{\sqrt e}f(x)dx=\frac{\sqrt e}2-\int_0^{\frac12}2xe^xdx
+40점 · 답 3e2−2\displaystyle \frac{3\sqrt e}2-2을 구하면

(1-2) f(e)=12\displaystyle f(\sqrt e)=\frac12이고 그래프의 대칭성을 이용하면 아래 그림처럼 색칠된 두 영역의 넓이가 같다. 따라서 다음과 같이 계산된다.∫0ef(x)dx=ef(e)−∫0f(e)2xexdx=e2−∫0122xexdx=3e2−2\displaystyle \int_0^{\sqrt e}f(x)dx=\sqrt ef(\sqrt e)-\int_0^{f(\sqrt e)}2xe^xdx=\frac{\sqrt e}2-\int_0^{\frac12}2xe^xdx=\frac{3\sqrt e}2-2

함수와 역함수의 그래프에서 대칭인 두 영역
+20점 · f′(a)=14\displaystyle f\prime(a)=\frac14을 만족하는 a\displaystyle a가 α\displaystyle \alpha임을 설명

(1-3) f(0)=0\displaystyle f(0)=0, f(4ln⁡2)=ln⁡2\displaystyle f(4\ln2)=\ln2이므로 g(0)=0\displaystyle g(0)=0, g(4ln⁡2)=0\displaystyle g(4\ln2)=0이고 롤의 정리로부터 g′(a)=f′(a)−14=0\displaystyle g\prime(a)=f\prime(a)-\frac14=0을 만족하는 0<a<4ln⁡2\displaystyle 0<a<4\ln2가 존재한다.

(f−1)′′(x)=2(x+2)ex>0\displaystyle (f^{-1})\prime\prime(x)=2(x+2)e^x>0이므로 f−1(x)\displaystyle f^{-1}(x)가 아래로 볼록하고 g(x)\displaystyle g(x)는 위로 볼록하다. 따라서 a\displaystyle a는 유일하고 g(x)\displaystyle g(x)는 a\displaystyle a에서 최댓값을 가진다. 따라서 a=α\displaystyle a=\alpha이다.

+10점 · 2xex=α\displaystyle 2xe^x=\alpha로 쓰면

f−1(x)=2xex=α\displaystyle f^{-1}(x)=2xe^x=\alpha를 만족하는 x\displaystyle x는 유일하고

+10점 · (1+x)ex=2\displaystyle (1+x)e^x=2를 구하면

f′(2xex)=12(1+x)ex\displaystyle f\prime(2xe^x)=\frac1{2(1+x)e^x}로부터 이 x\displaystyle x에 대하여 f′(α)=14\displaystyle f\prime(\alpha)=\frac14이므로 (1+x)ex=2\displaystyle (1+x)e^x=2를 얻는다.

+40점 · g(α)=α24(4−α)\displaystyle g(\alpha)=\frac{\alpha^2}{4(4-\alpha)}를 구하면

두 식 2xex=α\displaystyle 2xe^x=\alpha와 (1+x)ex=2\displaystyle (1+x)e^x=2로부터 x=α4−α\displaystyle x=\frac\alpha{4-\alpha}이고,g(α)=f(α)−α4=x−α4=α4−α−α4=α24(4−α)\displaystyle g(\alpha)=f(\alpha)-\frac\alpha4=x-\frac\alpha4=\frac\alpha{4-\alpha}-\frac\alpha4=\frac{\alpha^2}{4(4-\alpha)}이다.

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