자연계열 A 1번

(1-1) $\displaystyle x>0$일 때 (나)의 식을 미분하면 $\displaystyle f^{-1}(x)=2xe^x$을 얻고 $\displaystyle f^{-1}(x)$는 연속이므로 $\displaystyle f^{-1}(0)=0$이다. 이로부터 $\displaystyle f^{-1}(\ln2)=4\ln2$, $\displaystyle f^{-1}(\frac12)=\sqrt e$이다. 또한 역함수의 미분법에 의하여 $\displaystyle f\prime(f^{-1}(\frac12))=\frac1{(f^{-1})\prime(\frac12)}=\frac1{3\sqrt e}$이다.

(1-2) $\displaystyle f(\sqrt e)=\frac12$이고 그래프의 대칭성을 이용하면 아래 그림처럼 색칠된 두 영역의 넓이가 같다. 따라서 다음과 같이 계산된다.$\displaystyle \int_0^{\sqrt e}f(x)dx=\sqrt ef(\sqrt e)-\int_0^{f(\sqrt e)}2xe^xdx=\frac{\sqrt e}2-\int_0^{\frac12}2xe^xdx=\frac{3\sqrt e}2-2$

(1-3) $\displaystyle f(0)=0$, $\displaystyle f(4\ln2)=\ln2$이므로 $\displaystyle g(0)=0$, $\displaystyle g(4\ln2)=0$이고 롤의 정리로부터 $\displaystyle g\prime(a)=f\prime(a)-\frac14=0$을 만족하는 $\displaystyle 0<a<4\ln2$가 존재한다.

$\displaystyle f^{-1}(x)=2xe^x=\alpha$를 만족하는 $\displaystyle x$는 유일하고 $\displaystyle f\prime(2xe^x)=\frac1{2(1+x)e^x}$로부터 이 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f\prime(\alpha)=\frac14$이므로 $\displaystyle (1+x)e^x=2$를 얻는다. 두 식 $\displaystyle 2xe^x=\alpha$와 $\displaystyle (1+x)e^x=2$로부터 $\displaystyle x=\frac\alpha{4-\alpha}$이고,$\displaystyle g(\alpha)=f(\alpha)-\frac\alpha4=x-\frac\alpha4=\frac\alpha{4-\alpha}-\frac\alpha4=\frac{\alpha^2}{4(4-\alpha)}$이다.