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자연계열 A 2번

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세종대 2026학년도 수시 자연계열 A 2번 · mathesis.kr/archive/sejong/2026su/jayeona_2

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문제

[문제 2] 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여 다음을 만족시킨다.∫0x(2t−x)f(t)dt=(x−2)ex+ax+b\displaystyle \int_0^x(2t-x)f(t)dt=(x-2)e^x+ax+b (단, a\displaystyle a와 b\displaystyle b는 상수)

(2-1) 상수 a\displaystyle a, b\displaystyle b의 값과 f(2)−f(1)\displaystyle f(2)-f(1)의 값을 각각 구하시오. (70점)

(2-2) 함수 g(x)={x2+2x+3(x<0)f(x)(x≥0)\displaystyle g(x)=\begin{cases}x^2+2x+3&(x<0)\\f(x)&(x\ge0)\end{cases}에 대하여 r(x)=lim⁡h→0+g(x+h)−g(x−2h)h\displaystyle r(x)=\lim_{h\to0+}\frac{g(x+h)-g(x-2h)}h라 하자. 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여 r(x)\displaystyle r(x)의 값이 존재할 때, f(x)\displaystyle f(x)와 r(x)\displaystyle r(x)를 각각 구하시오. (80점)

(2-3) (2-2)에서 구한 함수 r(x)\displaystyle r(x)에 대하여 곡선 y=e2x+k\displaystyle y=e^{2x}+k와 함수 y=r(x)\displaystyle y=r(x)의 그래프가 만나는 점의 개수가 2\displaystyle 2가 되도록 하는 실수 k\displaystyle k의 값을 모두 구하시오. (80점)

해설강의 준비중

세종대 2026학년도 수시 자연계열 A 2번 · mathesis.kr/archive/sejong/2026su/jayeona_2

+10점

(2-1) 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여∫0x(2t−x)f(t)dt=(x−2)ex+ax+b⋯⋯(1)\displaystyle \int_0^x(2t-x)f(t)dt=(x-2)e^x+ax+b\quad\cdots\cdots(1)이 성립하므로 x=0\displaystyle x=0을 양변에 대입하면 0=−2+b\displaystyle 0=-2+b에서 b=2\displaystyle b=2이다.

+30점

또한 ∫0x(2t−x)f(t)dt=∫0x2tf(t)dt−x∫0xf(t)dt\displaystyle \int_0^x(2t-x)f(t)dt=\int_0^x2tf(t)dt-x\int_0^xf(t)dt임을 이용하여 식 (1)의 양변을 미분하면2xf(x)−∫0xf(t)dt−xf(x)=ex+(x−2)ex+a\displaystyle 2xf(x)-\int_0^xf(t)dt-xf(x)=e^x+(x-2)e^x+a, 즉xf(x)−∫0xf(t)dt=(x−1)ex+a⋯⋯(2)\displaystyle xf(x)-\int_0^xf(t)dt=(x-1)e^x+a\quad\cdots\cdots(2)임을 알 수 있고, 이 식의 양변에 다시 x=0\displaystyle x=0을 대입하면 0=−1+a\displaystyle 0=-1+a에서 a=1\displaystyle a=1이다.

+20점 · f′(x)=ex\displaystyle f\prime(x)=e^x 또는 f(x)=ex+C\displaystyle f(x)=e^x+C

식 (2)\displaystyle (2)의 양변을 미분하면 f(x)+xf′(x)−f(x)=xex\displaystyle f(x)+xf\prime(x)-f(x)=xe^x에서 f′(x)=ex\displaystyle f\prime(x)=e^x이다. 이를 적분하면 적당한 실수 C\displaystyle C에 대하여 f(x)=ex+C\displaystyle f(x)=e^x+C이고, 이 함수는 문제의 조건을 모두 만족시킨다. 따라서 다음을 얻는다.

+10점

f(2)−f(1)=e2−e\displaystyle f(2)-f(1)=e^2-e

+20점 · C=2\displaystyle C=2 또는 f(x)=ex+2\displaystyle f(x)=e^x+2 또는 x≥0\displaystyle x\ge0일 때 g(x)=ex+2\displaystyle g(x)=e^x+2
+20점 · r(0)=5\displaystyle r(0)=5

(2-2) (2-1)의 결과로부터 g(x)={x2+2x+3(x<0)ex+C(x≥0)\displaystyle g(x)=\begin{cases}x^2+2x+3&(x<0)\\e^x+C&(x\ge0)\end{cases}이다. 그런데 r(x)=lim⁡h→0+g(x+h)−g(x−2h)h\displaystyle r(x)=\lim_{h\to0+}\frac{g(x+h)-g(x-2h)}h의 값이 실수 전체의 집합에서 존재하므로 x=0\displaystyle x=0에서도 존재하여야 한다. 즉, r(0)=lim⁡h→0+g(h)−g(−2h)h\displaystyle r(0)=\lim_{h\to0+}\frac{g(h)-g(-2h)}h에서 분모가 0\displaystyle 0으로 갈 때 분자도 0\displaystyle 0으로 가야 하므로 lim⁡h→0+g(h)=lim⁡h→0+g(−2h)\displaystyle \lim_{h\to0+}g(h)=\lim_{h\to0+}g(-2h)이다. 따라서 1+C=3\displaystyle 1+C=3에서 C=2\displaystyle C=2이다. 그러므로 f(x)=ex+2\displaystyle f(x)=e^x+2이고g(x)={x2+2x+3(x<0)ex+2(x≥0)\displaystyle g(x)=\begin{cases}x^2+2x+3&(x<0)\\e^x+2&(x\ge0)\end{cases}이다. 그런데 지수함수 ex\displaystyle e^x의 x=0\displaystyle x=0에서의 미분계수를 생각하면 lim⁡h→0+eh−e0h=e0=1\displaystyle \lim_{h\to0+}\frac{e^h-e^0}h=e^0=1이므로r(0)=lim⁡h→0+g(h)−g(−2h)h=lim⁡h→0+eh+2−(4h2−4h+3)h=lim⁡h→0+eh−1h+lim⁡h→0+−4h2+4hh=1+lim⁡h→0+(−4h+4)=5\displaystyle \begin{aligned}r(0)&=\lim_{h\to0+}\frac{g(h)-g(-2h)}h=\lim_{h\to0+}\frac{e^h+2-(4h^2-4h+3)}h\\&=\lim_{h\to0+}\frac{e^h-1}h+\lim_{h\to0+}\frac{-4h^2+4h}h=1+\lim_{h\to0+}(-4h+4)\\&=5\end{aligned}이다.

+20점 · x<0\displaystyle x<0일 때 r(x)=6x+6\displaystyle r(x)=6x+6
+20점 · x>0\displaystyle x>0일 때 r(x)=3ex\displaystyle r(x)=3e^x

x≠0\displaystyle x\ne0일 때는 g(x)\displaystyle g(x)가 미분가능하므로r(x)=lim⁡h→0+g(x+h)−g(x−2h)h=lim⁡h→0+g(x+h)−g(x)+g(x)−g(x−2h)h=lim⁡h→0+g(x+h)−g(x)h+2lim⁡h→0+g(x−2h)−g(x)−2h=g′(x)+2g′(x)=3g′(x)\displaystyle \begin{aligned}r(x)&=\lim_{h\to0+}\frac{g(x+h)-g(x-2h)}h=\lim_{h\to0+}\frac{g(x+h)-g(x)+g(x)-g(x-2h)}h\\&=\lim_{h\to0+}\frac{g(x+h)-g(x)}h+2\lim_{h\to0+}\frac{g(x-2h)-g(x)}{-2h}\\&=g\prime(x)+2g\prime(x)=3g\prime(x)\end{aligned}이다. 따라서 다음을 얻는다.r(x)={6x+6(x<0)5(x=0)3ex(x>0)\displaystyle r(x)=\begin{cases}6x+6&(x<0)\\5&(x=0)\\3e^x&(x>0)\end{cases}

(2-3) 함수 y=r(x)\displaystyle y=r(x)의 그래프의 개형은 오른쪽과 같다. 우선 두 곡선 y=e2x+k\displaystyle y=e^{2x}+k와 y=3ex\displaystyle y=3e^x가 x>0\displaystyle x>0인 영역에서 만나는 점의 개수를 구하기 위해 방정식e2x+k=3ex\displaystyle e^{2x}+k=3e^x의 x>0\displaystyle x>0인 영역에서의 서로 다른 실근의 개수를 구해보자. 이를 위해 t=ex\displaystyle t=e^x이라 두면, x>0\displaystyle x>0일 필요충분조건은 t>1\displaystyle t>1이므로 방정식t2−3t+k=0⋯⋯(3)\displaystyle t^2-3t+k=0\quad\cdots\cdots(3)의 t>1\displaystyle t>1인 영역에서 서로 다른 실근의 개수를 구해보면 된다.

구간별로 정의된 r(x)의 그래프와 열린 점 및 닫힌 점

그런데 이차방정식 (3)\displaystyle (3)의 판별식은 D=9−4k\displaystyle D=9-4k이고

(i) k>94\displaystyle k>\frac94이면 D<0\displaystyle D<0이므로 방정식 (3)\displaystyle (3)은 실근을 갖지 않는다.

+20점 · k=94\displaystyle k=\frac94일 때 방정식 (3)\displaystyle (3)이 t>1\displaystyle t>1인 영역에서 중근을 갖는다.

(ii) k=94\displaystyle k=\frac94이면 D=0\displaystyle D=0이고 방정식 (3)\displaystyle (3)은 (t−32)2=0\displaystyle (t-\frac32)^2=0이 되어 중근 t=32  (>1)\displaystyle t=\frac32\;(>1)을 갖는다.

(iii) k<94\displaystyle k<\frac94이면 D>0\displaystyle D>0이므로 방정식 (3)\displaystyle (3)이 실수 전체의 집합에서는 2\displaystyle 2개의 서로 다른 실근을 갖는다. 실근의 위치를 따져보기 위해 p(t)=t2−3t+k\displaystyle p(t)=t^2-3t+k라 정의하면 다음과 같은 결과를 얻는다.① k≤2\displaystyle k\le2일 때: 포물선 y=p(t)\displaystyle y=p(t)의 대칭축이 t=32\displaystyle t=\frac32이고 p(1)≤0\displaystyle p(1)\le0인 것을 생각하면 t>1\displaystyle t>1인 영역에서 방정식 (3)\displaystyle (3)은 단 하나의 실근을 갖는다.② 2<k<94\displaystyle 2<k<\frac94일 때: 포물선 y=p(t)\displaystyle y=p(t)의 대칭축이 t=32\displaystyle t=\frac32이고 p(1)>0\displaystyle p(1)>0인 것을 생각하면 t>1\displaystyle t>1인 영역에서 방정식 (3)\displaystyle (3)은 두 개의 실근을 갖는다.

(i), (ii), (iii)의 결과로부터 곡선 y=e2x+k\displaystyle y=e^{2x}+k와 y=3ex\displaystyle y=3e^x은 x>0\displaystyle x>0인 영역에서 k≤2\displaystyle k\le2 또는 k=94\displaystyle k=\frac94일 때 한 점에서 만나고, 2<k<94\displaystyle 2<k<\frac94일 때 두 점에서 만나며, k>94\displaystyle k>\frac94이면 만나지 않는다.

이제 x≤0\displaystyle x\le0인 영역에서 곡선 y=e2x+k\displaystyle y=e^{2x}+k와 함수 y=r(x)\displaystyle y=r(x)의 그래프가 만나는 점의 개수를 함께 고려하면 다음 표를 얻는다. 특히 k=5\displaystyle k=5일 때, 함수 y=e2x+5\displaystyle y=e^{2x}+5의 x≤0\displaystyle x\le0에서의 미분계수는 6보다 작다.

k\displaystyle k의 범위k≤2\displaystyle k\le22<k<94\displaystyle 2<k<\frac94k=94\displaystyle k=\frac9494<k<4\displaystyle \frac94<k<4k=4\displaystyle k=44<k<5\displaystyle 4<k<5k≥5\displaystyle k\ge5
교점의 수2\displaystyle 23\displaystyle 32\displaystyle 21\displaystyle 12\displaystyle 21\displaystyle 10\displaystyle 0

+20점 · k≤2\displaystyle k\le2일 때 교점 2개

따라서 답은 k≤2\displaystyle k\le2

+20점 · k=94\displaystyle k=\frac94일 때 교점 2개

또는 k=94\displaystyle k=\frac94

+20점 · k=4\displaystyle k=4일 때 교점 2개

또는 k=4\displaystyle k=4이다.

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