자연계열 B 2번

+10점 · $\displaystyle f(0)=0$ 또는 $\displaystyle g(x)$가 $\displaystyle x=0$에서 연속 또는 $\displaystyle y=g(x)$의 그래프가 원점을 지남 +20점 · 조건 (가)에 의해 $\displaystyle a=1$ 또는 $\displaystyle a=-1$ +20점 · $\displaystyle a=-1$일 때 조건을 만족시키지 못하는 이유 설명

(2-1) $\displaystyle g(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $\displaystyle f(0)=0$이고, $\displaystyle f(x)$의 최고차항의 계수를 $\displaystyle a$라 하면 조건 (가)에 의해 $\displaystyle a=1$ 또는 $\displaystyle a=-1$이다. $\displaystyle a=-1$인 경우에는 그림과 같이 $\displaystyle g(x)$의 극값이 존재하지 않거나, 극값을 갖는 $\displaystyle x$가 두 개 존재하므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다.

+20점 · $\displaystyle a=1$일 때 조건을 만족시키는 이유 설명

반면에 $\displaystyle a=1$인 경우에는 그림과 같이 조건 (나), (다)를 모두 만족시키는 경우가 존재하는 것이 자명하다. 따라서 $\displaystyle f(x)$의 최고차항의 계수는 $\displaystyle 1$이다.

+20점 · $\displaystyle f\prime(x)=0$의 두 근이 $\displaystyle \alpha>0$, $\displaystyle \beta\le0$

(2-2) (2-1)의 결과로부터 $\displaystyle f(x)$의 최고차항의 계수는 $\displaystyle 1$이다. 또한 조건 (나), (다)를 모두 만족시키는 경우는 아래 그림과 같이 적당한 양수 $\displaystyle \alpha$에 대하여 $\displaystyle x=\alpha$에서 극소가 되어야 하므로 방정식 $\displaystyle f\prime(x)=0$이 서로 다른 두 실근을 갖고, 이를 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$라 할 때 $\displaystyle \alpha>0$이고 $\displaystyle \beta\le0$이어야 한다.

+20점 · $\displaystyle \alpha+\beta-3\alpha\beta=1$ 또는 $\displaystyle \alpha=\frac{1-\beta}{1-3\beta}$ +40점 · $\displaystyle \frac13<\alpha\le1$

따라서$\displaystyle f\prime(x)=3(x-\alpha)(x-\beta)=3x^2-3(\alpha+\beta)x+3\alpha\beta$라 둘 수 있다. 그런데 $\displaystyle f(0)=0$이므로$\displaystyle f(x)=x^3-\frac32(\alpha+\beta)x^2+3\alpha\beta x$이다. 이제 조건 (다)에서 $\displaystyle \int_{-1}^1g(x)dx=0$이고 $\displaystyle \int_{-1}^0g(x)dx=\int_{-1}^0(-\frac12x)dx=\frac14$이므로$\displaystyle \int_0^1f(x)dx=\Biggl[\frac14x^4-\frac12(\alpha+\beta)x^3+\frac32\alpha\beta x^2\Biggr]_0^1=\frac14-\frac12(\alpha+\beta)+\frac32\alpha\beta=-\frac14$이다. 그러므로 $\displaystyle \alpha+\beta-3\alpha\beta=1$, 즉 $\displaystyle \alpha=\frac{1-\beta}{1-3\beta}\;(\beta\le0)$을 얻는다. 따라서 아래 그림과 같이 그래프를 이용하면 $\displaystyle \beta\le0$일 때 $\displaystyle \frac13<\alpha\le1$임을 알 수 있다.

(2-3) (2-2)의 풀이에서 $\displaystyle f(x)=x^3-\frac32(\alpha+\beta)x^2+3\alpha\beta x$, $\displaystyle f\prime(x)=3x^2-3(\alpha+\beta)x+3\alpha\beta$, $\displaystyle f\prime(0)=3\alpha\beta$이고, $\displaystyle \alpha+\beta-3\alpha\beta=1$로부터 $\displaystyle \beta=\frac{1-\alpha}{1-3\alpha}$, $\displaystyle \alpha+\beta=\frac{1-3\alpha^2}{1-3\alpha}\;(\frac13<\alpha\le1)$이다. 이제 $\displaystyle p(x)=g(x)-f\prime(0)x$라 정의하면 $\displaystyle h(x)=|p(x)|$이고 다음을 얻는다.$\displaystyle p(x)=\begin{cases}-\frac12x-(\alpha+\beta-1)x&(x\le0)\\x^3-\frac32(\alpha+\beta)x^2&(x>0)\end{cases}$

$\displaystyle p(x)$의 식을 보면 $\displaystyle x\le0$인 영역에서 $\displaystyle \alpha+\beta-1=-\frac12$일 때 $\displaystyle -\frac12x-(\alpha+\beta-1)x=0$이 된다.

또한 $\displaystyle x\ge0$인 영역에서 $\displaystyle x^3-\frac32(\alpha+\beta)x^2=x^2\{x-\frac32(\alpha+\beta)\}$이므로, 방정식 $\displaystyle p(x)=0$은 $\displaystyle x=0$에서는 항상 중근을 갖고 $\displaystyle \alpha+\beta>0$일 때 양의 실근을 갖는다. 따라서 $\displaystyle \frac13<\alpha\le1$인 영역에서 다음과 같이 나누어 생각할 수 있다.

▪ $\displaystyle \alpha+\beta\le0$인 경우: $\displaystyle \alpha+\beta=\frac{1-3\alpha^2}{1-3\alpha}\le0$이므로 $\displaystyle \frac13<\alpha\le\frac{\sqrt3}3$이다.

▪ $\displaystyle \alpha+\beta>0$인 경우: $\displaystyle \frac{\sqrt3}3<\alpha\le1$이다.

▪ $\displaystyle \alpha+\beta-1=-\frac12$인 경우: 방정식 $\displaystyle 6\alpha^2-3\alpha-1=0$에서 $\displaystyle \alpha=\frac14+\frac{\sqrt{33}}{12}$이다.(이 경우 $\displaystyle \alpha+\beta=\frac12>0$이므로 $\displaystyle \frac{\sqrt3}3<\alpha\le1$이다.)

그러므로 $\displaystyle \alpha$의 범위에 따라 다음과 같이 나누어 생각할 수 있다.

(i) $\displaystyle \frac13<\alpha\le\frac{\sqrt3}3$일 때: 방정식 $\displaystyle p(x)=0$이 양의 실근을 갖지 않으며, $\displaystyle x\le0$인 영역에서 $\displaystyle p(x)$의 일차항의 계수가 $\displaystyle 0$이 아니므로 $\displaystyle y=h(x)\;(=|p(x)|)$의 그래프는 다음과 같다.

(ii) $\displaystyle \frac{\sqrt3}3<\alpha\le1$이고 $\displaystyle \alpha\ne\frac14+\frac{\sqrt{33}}{12}$일 때: 방정식 $\displaystyle p(x)=0$이 양의 실근을 가지며, $\displaystyle x\le0$인 영역에서 $\displaystyle p(x)$의 일차항의 계수가 $\displaystyle 0$이 아니므로 $\displaystyle y=h(x)$의 그래프는 다음과 같다.

(iii) $\displaystyle \alpha=\frac14+\frac{\sqrt{33}}{12}$인 경우: $\displaystyle x\le0$인 영역에서 $\displaystyle p(x)=0$이고 $\displaystyle y=p(x)$가 양의 실근을 가진다. 그러므로 $\displaystyle y=h(x)$의 그래프는 다음과 같다.

(i), (ii), (iii)으로부터 답은 $\displaystyle \frac13<\alpha\le\frac{\sqrt3}3$ 또는 $\displaystyle \alpha=\frac14+\frac{\sqrt{33}}{12}$이다.