수리논술, 이게 다다.

자유전공학부 2번

오류 제보

세종대 2026학년도 수시 자유전공학부 2번 · mathesis.kr/archive/sejong/2026su/jayu_2

이전 문제
배점350점
예상 소요 시간60분

문제

[문제 2] 실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수 f(x)=x(x−1)2e2x\displaystyle f(x)=x(x-1)^2e^{2x}과 g(x)=−x1+x2\displaystyle g(x)=-\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}가 있다.

(2-1) g′(x)\displaystyle g\prime(x)를 구하시오. 또한 g\displaystyle g의 치역을 구하시오. (80점)

(2-2) g(x)\displaystyle g(x)의 역함수 g−1(x)\displaystyle g^{-1}(x)를 구하시오. 또한 h(x)=(g∘f∘g−1)(x)\displaystyle h(x)=(g\circ f\circ g^{-1})(x)라 할 때, 방정식 h(x)=0\displaystyle h(x)=0의 해를 모두 구하시오. (120점)

(2-3) (2-2)에서 정의된 함수 h(x)\displaystyle h(x)의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오. 또한 h\displaystyle h의 치역을 구하시오. (단, lim⁡x→−∞f(x)=0\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=0) (150점)

해설강의 준비중

세종대 2026학년도 수시 자유전공학부 2번 · mathesis.kr/archive/sejong/2026su/jayu_2

+20점 · g′(x)=−1(1+x2)3/2\displaystyle g\prime(x)=-\frac1{(1+x^2)^{3/2}}을 구하면

(2-1) g′(x)=−1(1+x2)3/2\displaystyle g\prime(x)=-\frac1{(1+x^2)^{3/2}}이다. g′(x)<0\displaystyle g\prime(x)<0이므로 g(x)\displaystyle g(x)는 감소함수이다.

+20점 · lim⁡x→∞g(x)=−1\displaystyle \lim_{x\to\infty}g(x)=-1을 구하면

lim⁡x→∞g(x)=lim⁡x→∞−x1+x2=lim⁡x→∞−11x2+1=−1\displaystyle \lim_{x\to\infty}g(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{-x}{\sqrt{1+x^2}}=\lim_{x\to\infty}\frac{-1}{\sqrt{\frac1{x^2}+1}}=-1이고

+20점 · lim⁡x→−∞g(x)=1\displaystyle \lim_{x\to-\infty}g(x)=1을 구하면

lim⁡x→−∞g(x)=lim⁡x→−∞−x1+x2=lim⁡x→−∞11x2+1=1\displaystyle \lim_{x\to-\infty}g(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{-x}{\sqrt{1+x^2}}=\lim_{x\to-\infty}\frac1{\sqrt{\frac1{x^2}+1}}=1이므로

+20점 · 치역 {y∣−1<y<1}\displaystyle \{y\mid-1<y<1\}을 구하면

g\displaystyle g의 치역은 {y∣−1<y<1}\displaystyle \{y\mid-1<y<1\}이다.

(2-2) y=−x1+x2\displaystyle y=-\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}라 하고 양변을 제곱하면 y2=x21+x2\displaystyle y^2=\frac{x^2}{1+x^2}이다.

+30점 · x2=y21−y2\displaystyle x^2=\frac{y^2}{1-y^2}을 구하면

이때 x2\displaystyle x^2을 y\displaystyle y에 대한 식으로 나타내면 x2=y21−y2\displaystyle x^2=\frac{y^2}{1-y^2}이다.

−1<y<1\displaystyle -1<y<1이므로 x=±y1−y2\displaystyle x=\pm\frac y{\sqrt{1-y^2}}를 얻는다.

+40점 · x\displaystyle x와 y\displaystyle y가 서로 다른 부호임을 알고 x=−y1−y2\displaystyle x=-\frac y{\sqrt{1-y^2}}을 구하면

x≠0\displaystyle x\ne0일 때 x\displaystyle x와 y\displaystyle y가 서로 다른 부호를 가지므로 x=−y1−y2\displaystyle x=-\frac y{\sqrt{1-y^2}}이다.

x\displaystyle x와 y\displaystyle y를 서로 바꾸면 y=−x1−x2\displaystyle y=-\frac x{\sqrt{1-x^2}}이므로 g−1(x)=−x1−x2  (−1<x<1)\displaystyle g^{-1}(x)=-\frac x{\sqrt{1-x^2}}\;(-1<x<1)이다.

+30점 · g−1(x)=0\displaystyle g^{-1}(x)=0 또는 1\displaystyle 1임을 알면

g(x)\displaystyle g(x)는 감소함수이므로 일대일함수이고 g(0)=0\displaystyle g(0)=0이므로 h(x)=0\displaystyle h(x)=0이면 (f∘g−1)(x)=0\displaystyle (f\circ g^{-1})(x)=0이다. 그런데 f(g−1(x))=0\displaystyle f(g^{-1}(x))=0을 풀면 g−1(x)=0,1\displaystyle g^{-1}(x)=0,1이다.

+20점 · 답 x=0\displaystyle x=0 또는 x=−22\displaystyle x=-\frac{\sqrt2}2을 구하면

따라서 답은 x=g(0)=0\displaystyle x=g(0)=0 또는 x=g(1)=−22\displaystyle x=g(1)=-\frac{\sqrt2}2이다.

+30점 · h′(x)\displaystyle h\prime(x)를 세 함수의 곱으로 표현하면

(2-3) h′(x)=g′((f∘g−1)(x))×f′(g−1(x))×(g−1)′(x)\displaystyle h\prime(x)=g\prime((f\circ g^{-1})(x))\times f\prime(g^{-1}(x))\times(g^{-1})\prime(x)인데 g′(x)<0\displaystyle g\prime(x)<0이고 (g−1)′(x)=−1(1−x2)3/2<0\displaystyle (g^{-1})\prime(x)=-\frac1{(1-x^2)^{3/2}}<0이므로 h′(x)=0\displaystyle h\prime(x)=0이면 f′(g−1(x))=0\displaystyle f\prime(g^{-1}(x))=0이다. 또한 h′(x)\displaystyle h\prime(x)와 f′(g−1(x))\displaystyle f\prime(g^{-1}(x))는 부호가 같다.

f′(x)=(x+1)(2x−1)(x−1)e2x\displaystyle f\prime(x)=(x+1)(2x-1)(x-1)e^{2x}이므로 f′(g−1(x))=(g−1(x)+1)(2g−1(x)−1)(g−1(x)−1)e2g−1(x)\displaystyle f\prime(g^{-1}(x))=(g^{-1}(x)+1)(2g^{-1}(x)-1)(g^{-1}(x)-1)e^{2g^{-1}(x)}이다. h′(x)=0\displaystyle h\prime(x)=0을 풀면 g−1(x)=−1,12,1\displaystyle g^{-1}(x)=-1,\frac12,1이다. 이때 x=g(−1),g(12),g(1)\displaystyle x=g(-1),g(\frac12),g(1)임을 알 수 있다.

f′(x)>0\displaystyle f\prime(x)>0을 풀면 x>1\displaystyle x>1이거나 −1<x<12\displaystyle -1<x<\frac12이므로 f′(g−1(x))>0\displaystyle f\prime(g^{-1}(x))>0을 풀면 g−1(x)>1\displaystyle g^{-1}(x)>1이거나 −1<g−1(x)<12\displaystyle -1<g^{-1}(x)<\frac12이다.

그런데 g(x)\displaystyle g(x)가 감소함수이므로 g(1)<g(12)<g(−1)\displaystyle g(1)<g(\frac12)<g(-1)이다.

+30점 · h(x)\displaystyle h(x)의 증감을 올바르게 기술하면

따라서 f′(g−1(x))>0\displaystyle f\prime(g^{-1}(x))>0이면 x<g(1)\displaystyle x<g(1)이거나 g(12)<x<g(−1)\displaystyle g(\frac12)<x<g(-1)이다. 함수 h(x)\displaystyle h(x)의 증감표를 그리면 다음과 같다.

x\displaystyle x⋯\displaystyle \cdotsg(1)=−22\displaystyle g(1)=-\frac{\sqrt2}2⋯\displaystyle \cdotsg(12)=−55\displaystyle g(\frac12)=-\frac{\sqrt5}5⋯\displaystyle \cdotsg(−1)=22\displaystyle g(-1)=\frac{\sqrt2}2⋯\displaystyle \cdots
h′(x)\displaystyle h\prime(x)+\displaystyle +0\displaystyle 0−\displaystyle -0\displaystyle 0+\displaystyle +0\displaystyle 0−\displaystyle -
h(x)\displaystyle h(x)↗\displaystyle \nearrow극댓값↘\displaystyle \searrow극솟값↗\displaystyle \nearrow극댓값↘\displaystyle \searrow

+30점 · 극댓값 0\displaystyle 0, 4e4+16\displaystyle \frac4{\sqrt{e^4+16}}과 극솟값 −ee2+64\displaystyle -\frac e{\sqrt{e^2+64}} 구하면

x=g(1),g(−1),g(12)\displaystyle x=g(1),g(-1),g(\frac12)에서 함수값 h(x)\displaystyle h(x)를 계산하자.h(g(1))=g(f(1))=g(0)=0\displaystyle h(g(1))=g(f(1))=g(0)=0h(g(−1))=g(f(−1))=g(−4e−2)=4e−21+(−4e−2)2=4e4+16\displaystyle h(g(-1))=g(f(-1))=g(-4e^{-2})=\frac{4e^{-2}}{\sqrt{1+(-4e^{-2})^2}}=\frac4{\sqrt{e^4+16}}h(g(12))=g(f(12))=g(e8)=−e81+e264=−ee2+64>−1\displaystyle h(g(\frac12))=g(f(\frac12))=g(\frac e8)=-\frac{\frac e8}{\sqrt{1+\frac{e^2}{64}}}=-\frac e{\sqrt{e^2+64}}>-1

+30점 · lim⁡x→−1+h(x)=−1\displaystyle \lim_{x\to-1+}h(x)=-1임을 계산하면

또한 lim⁡x→1−h(x)=lim⁡x→−∞g(f(x))=lim⁡x→0g(x)=0\displaystyle \lim_{x\to1-}h(x)=\lim_{x\to-\infty}g(f(x))=\lim_{x\to0}g(x)=0이고 lim⁡x→−1+h(x)=lim⁡x→∞g(f(x))=lim⁡x→∞g(x)=−1\displaystyle \lim_{x\to-1+}h(x)=\lim_{x\to\infty}g(f(x))=\lim_{x\to\infty}g(x)=-1이다.

따라서 극댓값은 0\displaystyle 0과 4e4+16\displaystyle \frac4{\sqrt{e^4+16}}이고 극솟값은 −ee2+64\displaystyle -\frac e{\sqrt{e^2+64}}이다.

+30점 · 치역 {y∣−1<y≤4e4+16}\displaystyle \{y\mid-1<y\le\frac4{\sqrt{e^4+16}}\}을 구하면

위의 계산을 종합하면 h\displaystyle h의 치역은 {y∣−1<y≤4e4+16}\displaystyle \{y\mid-1<y\le\frac4{\sqrt{e^4+16}}\}이다.

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.