자유전공학부 2번

세종대 2026학년도 수시 자유전공학부 2번 · mathesis.kr/archive/sejong/2026su/jayu_2

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세종대 2026학년도 수시 자유전공학부 2번 · mathesis.kr/archive/sejong/2026su/jayu_2

+20점 ·

\displaystyle g\prime(x)=-\frac1{(1+x^2)^{3/2}}

을 구하면 +20점 ·

\displaystyle \lim_{x\to\infty}g(x)=-1

을 구하면 +20점 ·

\displaystyle \lim_{x\to-\infty}g(x)=1

을 구하면 +20점 · 치역

\displaystyle \{y\mid-1<y<1\}

을 구하면

(2-1) $\displaystyle g\prime(x)=-\frac1{(1+x^2)^{3/2}}$ 이다. $\displaystyle g\prime(x)<0$ 이므로 $\displaystyle g(x)$ 는 감소함수이다. $\displaystyle \lim_{x\to\infty}g(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{-x}{\sqrt{1+x^2}}=\lim_{x\to\infty}\frac{-1}{\sqrt{\frac1{x^2}+1}}=-1$ 이고 $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}g(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{-x}{\sqrt{1+x^2}}=\lim_{x\to-\infty}\frac1{\sqrt{\frac1{x^2}+1}}=1$ 이므로 $\displaystyle g$ 의 치역은 $\displaystyle \{y\mid-1<y<1\}$ 이다.

(2-2) $\displaystyle y=-\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ 라 하고 양변을 제곱하면 $\displaystyle y^2=\frac{x^2}{1+x^2}$ 이다.

+30점 ·

\displaystyle x^2=\frac{y^2}{1-y^2}

을 구하면

이때 $\displaystyle x^2$ 을 $\displaystyle y$ 에 대한 식으로 나타내면 $\displaystyle x^2=\frac{y^2}{1-y^2}$ 이다.

$\displaystyle -1<y<1$ 이므로 $\displaystyle x=\pm\frac y{\sqrt{1-y^2}}$ 를 얻는다.

+40점 ·

\displaystyle x

와

\displaystyle y

가 서로 다른 부호임을 알고

\displaystyle x=-\frac y{\sqrt{1-y^2}}

을 구하면

$\displaystyle x\ne0$ 일 때 $\displaystyle x$ 와 $\displaystyle y$ 가 서로 다른 부호를 가지므로 $\displaystyle x=-\frac y{\sqrt{1-y^2}}$ 이다.

$\displaystyle x$ 와 $\displaystyle y$ 를 서로 바꾸면 $\displaystyle y=-\frac x{\sqrt{1-x^2}}$ 이므로 $\displaystyle g^{-1}(x)=-\frac x{\sqrt{1-x^2}}\;(-1<x<1)$ 이다.

+30점 ·

\displaystyle g^{-1}(x)=0

또는

\displaystyle 1

임을 알면

$\displaystyle g(x)$ 는 감소함수이므로 일대일함수이고 $\displaystyle g(0)=0$ 이므로 $\displaystyle h(x)=0$ 이면 $\displaystyle (f\circ g^{-1})(x)=0$ 이다. 그런데 $\displaystyle f(g^{-1}(x))=0$ 을 풀면 $\displaystyle g^{-1}(x)=0,1$ 이다.

+20점 · 답

\displaystyle x=0

또는

\displaystyle x=-\frac{\sqrt2}2

을 구하면

따라서 답은 $\displaystyle x=g(0)=0$ 또는 $\displaystyle x=g(1)=-\frac{\sqrt2}2$ 이다.

+30점 ·

\displaystyle h\prime(x)

를 세 함수의 곱으로 표현하면

(2-3) $\displaystyle h\prime(x)=g\prime((f\circ g^{-1})(x))\times f\prime(g^{-1}(x))\times(g^{-1})\prime(x)$ 인데 $\displaystyle g\prime(x)<0$ 이고 $\displaystyle (g^{-1})\prime(x)=-\frac1{(1-x^2)^{3/2}}<0$ 이므로 $\displaystyle h\prime(x)=0$ 이면 $\displaystyle f\prime(g^{-1}(x))=0$ 이다. 또한 $\displaystyle h\prime(x)$ 와 $\displaystyle f\prime(g^{-1}(x))$ 는 부호가 같다.

$\displaystyle f\prime(x)=(x+1)(2x-1)(x-1)e^{2x}$ 이므로 $\displaystyle f\prime(g^{-1}(x))=(g^{-1}(x)+1)(2g^{-1}(x)-1)(g^{-1}(x)-1)e^{2g^{-1}(x)}$ 이다. $\displaystyle h\prime(x)=0$ 을 풀면 $\displaystyle g^{-1}(x)=-1,\frac12,1$ 이다. 이때 $\displaystyle x=g(-1),g(\frac12),g(1)$ 임을 알 수 있다.

$\displaystyle f\prime(x)>0$ 을 풀면 $\displaystyle x>1$ 이거나 $\displaystyle -1<x<\frac12$ 이므로 $\displaystyle f\prime(g^{-1}(x))>0$ 을 풀면 $\displaystyle g^{-1}(x)>1$ 이거나 $\displaystyle -1<g^{-1}(x)<\frac12$ 이다.

그런데 $\displaystyle g(x)$ 가 감소함수이므로 $\displaystyle g(1)<g(\frac12)<g(-1)$ 이다.

+30점 ·

\displaystyle h(x)

의 증감을 올바르게 기술하면

따라서 $\displaystyle f\prime(g^{-1}(x))>0$ 이면 $\displaystyle x<g(1)$ 이거나 $\displaystyle g(\frac12)<x<g(-1)$ 이다. 함수 $\displaystyle h(x)$ 의 증감표를 그리면 다음과 같다.

$\displaystyle x$	$\displaystyle \cdots$	$\displaystyle g(1)=-\frac{\sqrt2}2$	$\displaystyle \cdots$	$\displaystyle g(\frac12)=-\frac{\sqrt5}5$	$\displaystyle \cdots$	$\displaystyle g(-1)=\frac{\sqrt2}2$	$\displaystyle \cdots$
$\displaystyle h\prime(x)$	$\displaystyle +$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -$
$\displaystyle h(x)$	$\displaystyle \nearrow$	극댓값	$\displaystyle \searrow$	극솟값	$\displaystyle \nearrow$	극댓값	$\displaystyle \searrow$

+30점 · 극댓값

\displaystyle 0

\displaystyle \frac4{\sqrt{e^4+16}}

과 극솟값

\displaystyle -\frac e{\sqrt{e^2+64}}

구하면

$\displaystyle x=g(1),g(-1),g(\frac12)$ 에서 함수값 $\displaystyle h(x)$ 를 계산하자. $\displaystyle h(g(1))=g(f(1))=g(0)=0$ $\displaystyle h(g(-1))=g(f(-1))=g(-4e^{-2})=\frac{4e^{-2}}{\sqrt{1+(-4e^{-2})^2}}=\frac4{\sqrt{e^4+16}}$ $\displaystyle h(g(\frac12))=g(f(\frac12))=g(\frac e8)=-\frac{\frac e8}{\sqrt{1+\frac{e^2}{64}}}=-\frac e{\sqrt{e^2+64}}>-1$

+30점 ·

\displaystyle \lim_{x\to-1+}h(x)=-1

임을 계산하면

또한 $\displaystyle \lim_{x\to1-}h(x)=\lim_{x\to-\infty}g(f(x))=\lim_{x\to0}g(x)=0$ 이고 $\displaystyle \lim_{x\to-1+}h(x)=\lim_{x\to\infty}g(f(x))=\lim_{x\to\infty}g(x)=-1$ 이다.

따라서 극댓값은 $\displaystyle 0$ 과 $\displaystyle \frac4{\sqrt{e^4+16}}$ 이고 극솟값은 $\displaystyle -\frac e{\sqrt{e^2+64}}$ 이다.

+30점 · 치역

\displaystyle \{y\mid-1<y\le\frac4{\sqrt{e^4+16}}\}

을 구하면

위의 계산을 종합하면 $\displaystyle h$ 의 치역은 $\displaystyle \{y\mid-1<y\le\frac4{\sqrt{e^4+16}}\}$ 이다.

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