자연계열 A 3번

(3-1) $\displaystyle \angle\mathrm{CAD}=\frac\pi3$이므로 코사인 법칙에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{CD}}^2=x^2+4-2x$이다. 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{CD}}=\sqrt{x^2-2x+4}$이다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ADC}$의 넓이가 $\displaystyle \frac{\sqrt3x}2$이므로 $\displaystyle \frac{\sqrt3x}2=r_1(x)\frac{x+2+\sqrt{x^2-2x+4}}2$를 얻는다. 따라서$\displaystyle r_1(x)=\frac{\sqrt3x}{x+2+\sqrt{x^2-2x+4}}=\frac{\sqrt3(x+2-\sqrt{x^2-2x+4})}6$이다. 선분 $\displaystyle \mathrm{BD}$의 길이가 $\displaystyle 2-x$이므로 대칭성에 의하여$\displaystyle r_2(x)=r_1(2-x)=\frac{\sqrt3(4-x-\sqrt{x^2-2x+4})}6$이다. 그러므로

$\displaystyle f(x)=r_1(x)+r_1(2-x)=\frac{\sqrt3(3-\sqrt{x^2-2x+4})}3$이고, $\displaystyle f\prime(x)=-\frac{\sqrt3}3\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+4}}$이다. $\displaystyle x<1$일 때, $\displaystyle f\prime(x)>0$, $\displaystyle x>1$일 때, $\displaystyle f\prime(x)<0$이므로, $\displaystyle f(1)=\sqrt3-1$이 $\displaystyle f(x)$의 최댓값이다. $\displaystyle f(0)=\lim_{x\to0+}f(x)=\frac{\sqrt3}3$이고 $\displaystyle f(2)=\lim_{x\to2-}f(x)=\frac{\sqrt3}3$이므로 $\displaystyle f$의 치역은 $\displaystyle \{y\mid\frac{\sqrt3}3\le y\le\sqrt3-1\}$이다.

(3-2) $\displaystyle f(x)=r_1(x)+r_1(2-x)=f(2-x)$이므로 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프는 $\displaystyle x=1$에 대하여 대칭이다. 따라서, $\displaystyle \mathrm{P}$를 지나는 두 직선은 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프와 각각 $\displaystyle \mathrm{Q}(\frac14,f(\frac14))$과 $\displaystyle \mathrm{R}(\frac74,f(\frac74))$에서 접한다. 또한 $\displaystyle \mathrm{T}(1,0)$에 대하여 $\displaystyle \angle\mathrm{QPT}=\angle\mathrm{RPT}$이다. $\displaystyle \mathrm{Q}$에서의 접하는 접선의 기울기는 $\displaystyle f\prime(\frac14)=\frac1{\sqrt{19}}$이다. 따라서 $\displaystyle \cos\frac\theta2=\frac{\frac1{\sqrt{19}}}{\sqrt{1+\frac1{19}}}=\frac1{\sqrt{20}}$, $\displaystyle \sin\frac\theta2=\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{20}}$이고, $\displaystyle \sin\theta=\sin(\frac\theta2+\frac\theta2)=2\sin\frac\theta2\cos\frac\theta2=\frac{\sqrt{19}}{10}$이다.

$\displaystyle 0\le x\le1$에서 $\displaystyle f(x)$는 증가함수이므로 $\displaystyle f(x)$의 역함수 $\displaystyle f^{-1}(t)$가 $\displaystyle \frac{\sqrt3}3\le t\le\sqrt3-1$에서 존재한다. 따라서 $\displaystyle F\prime(x)=f(x)$라 하면,$\displaystyle \begin{aligned}g(t)&=2\left(\int_0^{f^{-1}(t)}(t-f(x))dx+\int_{f^{-1}(t)}^1(f(x)-t)dx\right)\\&=2(tf^{-1}(t)-F(f^{-1}(t))+F(0)+F(1)-t-F(f^{-1}(t))+tf^{-1}(t))\end{aligned}$이다. 따라서 $\displaystyle g\prime(t)=2(2f^{-1}(t)-1)$이다. $\displaystyle 0\le x\le1$에서 $\displaystyle f(x)$가 증가함수이므로, $\displaystyle \frac{\sqrt3}3\le t\le\sqrt3-1$에서 $\displaystyle f^{-1}(t)$ 또한 증가함수이다. 그러므로 $\displaystyle \frac{\sqrt3}3<t<f(\frac12)=\frac{\sqrt3}6(6-\sqrt{13})$이면 $\displaystyle g\prime(t)<0$이고, $\displaystyle f(\frac12)=\frac{\sqrt3}6(6-\sqrt{13})<t<\sqrt3-1$이면 $\displaystyle g\prime(t)>0$이다. 따라서 $\displaystyle g(t)$는 최솟값을 $\displaystyle t=f(\frac12)=\frac{\sqrt3}6(6-\sqrt{13})$일 때 가진다. 그러므로 $\displaystyle \alpha=\frac{\sqrt3}6(6-\sqrt{13})=\sqrt3-\frac{\sqrt{39}}6$이다.