자연계열 B 1번

(1-1) $\displaystyle x=\frac\pi2$일 때,$\displaystyle \begin{aligned}f\left(\frac\pi2\right)&=\int_{\frac\pi2}^{2\pi}\left(t-\frac\pi2\right)\cos\frac t2dt=\Biggl[2\left(t-\frac\pi2\right)\sin\frac t2\Biggr]_{\frac\pi2}^{2\pi}-\int_{\frac\pi2}^{2\pi}2\sin\frac t2dt\\&=-\Biggl[-4\cos\frac t2\Biggr]_{\frac\pi2}^{2\pi}=-4-2\sqrt2\end{aligned}$이다. 한편, $\displaystyle x<\frac\pi2$일 때$\displaystyle f(x)=\int_{\frac\pi2}^{2\pi}(t-x)\cos\frac t2dt=\int_{\frac\pi2}^{2\pi}t\cos\frac t2dt-x\int_{\frac\pi2}^{2\pi}\cos\frac t2dt$이므로 $\displaystyle f\prime(x)=-\int_{\frac\pi2}^{2\pi}\cos\frac t2dt=\Biggl[-2\sin\frac t2\Biggr]_{\frac\pi2}^{2\pi}=\sqrt2$이다.

(1-2) (1-1)에서 $\displaystyle x<\frac\pi2$일 때 $\displaystyle f\prime(x)=\sqrt2$이고, $\displaystyle x>2\pi$일 때$\displaystyle f(x)=\int_{\frac\pi2}^{2\pi}(x-t)\cos\frac t2dt=x\int_{\frac\pi2}^{2\pi}\cos\frac t2dt-\int_{\frac\pi2}^{2\pi}t\cos\frac t2dt$이므로 $\displaystyle f\prime(x)=\int_{\frac\pi2}^{2\pi}\cos\frac t2dt=\Biggl[2\sin\frac t2\Biggr]_{\frac\pi2}^{2\pi}=-\sqrt2$이다. 한편 $\displaystyle \frac\pi2\le x\le2\pi$일 때,$\displaystyle \begin{aligned}f(x)&=\int_{\frac\pi2}^x(x-t)\cos\frac t2dt+\int_x^{2\pi}(t-x)\cos\frac t2dt\\&=x\int_{\frac\pi2}^x\cos\frac t2dt-\int_{\frac\pi2}^xt\cos\frac t2dt+\int_x^{2\pi}t\cos\frac t2dt-x\int_x^{2\pi}\cos\frac t2dt\end{aligned}$이다. 따라서 $\displaystyle \begin{aligned}f\prime(x)&=\int_{\frac\pi2}^x\cos\frac t2dt+x\cos\frac x2-x\cos\frac x2-x\cos\frac x2-\int_x^{2\pi}\cos\frac t2dt+x\cos\frac x2\\&=\int_{\frac\pi2}^x\cos\frac t2dt-\int_x^{2\pi}\cos\frac t2dt\\&=\Biggl[2\sin\frac t2\Biggr]_{\frac\pi2}^x-\Biggl[2\sin\frac t2\Biggr]_x^{2\pi}=4\sin\frac x2-\sqrt2\end{aligned}$이다. 즉$\displaystyle f\prime(x)=\begin{cases}\sqrt2&(x<\frac\pi2)\\4\sin\frac x2-\sqrt2&(\frac\pi2\le x\le2\pi)\\-\sqrt2&(x>2\pi)\end{cases}$이다. 따라서 $\displaystyle f\prime(x)$는 $\displaystyle \sin\frac\alpha2=\frac{\sqrt2}4$인 $\displaystyle \alpha$에 대하여 $\displaystyle x<\alpha$일 때 양수, $\displaystyle x>\alpha$일 때 음수이므로, $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=\alpha$일 때 최댓값을 가진다. 한편 $\displaystyle \pi<\alpha<2\pi$이므로 $\displaystyle \cos\frac\alpha2=-\frac{\sqrt{14}}4$이다.

따라서 직선 $\displaystyle y=\sqrt2x+k$가 곡선 $\displaystyle y=f(x)-f(\frac\pi2)$와 교점이 1개이기 위해서는 직선이 $\displaystyle y=f(x)-f(\frac\pi2)$에 접하거나, 기울기가 $\displaystyle \sqrt2$이고 점 $\displaystyle (\frac\pi2,0)$을 지나는 직선보다 $\displaystyle y$절편이 작아야 한다. 직선 $\displaystyle y=\sqrt2x+k$가 $\displaystyle y=f(x)-f(\frac\pi2)$에 접할 때 그 접점의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle \beta$라 하면, $\displaystyle 4\sin\frac\beta2-\sqrt2=\sqrt2$이고 $\displaystyle \frac\pi2<\beta<2\pi$에서 $\displaystyle \sin\frac\beta2=\frac{\sqrt2}2$, $\displaystyle \beta=\frac32\pi$이다. 한편$\displaystyle f\left(\frac32\pi\right)-f\left(\frac12\pi\right)=\int_{\frac\pi2}^{\frac32\pi}\left(4\sin\frac t2-\sqrt2\right)dt=\Biggl[-8\cos\frac t2-\sqrt2t\Biggr]_{\frac\pi2}^{\frac32\pi}=8\sqrt2-\sqrt2\pi$이므로, 직선 $\displaystyle y=\sqrt2x+k$가 점 $\displaystyle (\frac32\pi,f(\frac32\pi)-f(\frac\pi2))$을 지날 때 $\displaystyle k=(8-\frac52\pi)\sqrt2$이다. 또한 직선 $\displaystyle y=\sqrt2x+k$가 점 $\displaystyle (\frac\pi2,0)$을 지나는 경우 $\displaystyle k=-\frac{\sqrt2}2\pi$이므로, 답은$\displaystyle k=\left(8-\frac52\pi\right)\sqrt2$ 또는 $\displaystyle k<-\frac{\sqrt2}2\pi$이다.