자연계열 B 3번

전체 시험 시간 120분

세종대 2026학년도 수시 자연계열 B 3번 · mathesis.kr/archive/sejong/2026su/jayeonb_3

[문제 3] $\displaystyle n=1,2,3,\ldots,100,101$ 에 대하여 $\displaystyle a_n=\int_0^1(2x)^n(1-x)^{102-n}dx$ 라 하자.

(3-1) $\displaystyle \frac{a_{98}}{2^{98}}+3\frac{a_{99}}{2^{99}}+3\frac{a_{100}}{2^{100}}+\frac{a_{101}}{2^{101}}=\frac qp$ 일 때, $\displaystyle p$ 와 $\displaystyle q$ 를 각각 구하시오. (단, $\displaystyle p,q$ 는 서로소인 자연수이다.) (80점)

(3-2) $\displaystyle \frac{a_n}{a_{n+1}}\ge1$ 을 만족시키는 $\displaystyle n$ 을 모두 구하시오. (80점)

(3-3) $\displaystyle a_n$ 이 $\displaystyle n=m$ 에서 최솟값을 가질 때, $\displaystyle m$ 을 구하시오. 또한 $\displaystyle {}_{102}\mathrm C_m\times a_m=\frac qp$ 일 때, $\displaystyle p$ 와 $\displaystyle q$ 를 각각 구하시오. (단, $\displaystyle p,q$ 는 서로소인 자연수이다.) (80점)

해설강의 준비중

세종대 2026학년도 수시 자연계열 B 3번 · mathesis.kr/archive/sejong/2026su/jayeonb_3

+60점 ·

\displaystyle \int_0^1x^{98}(1-x)dx

를 구하면

+20점 ·

\displaystyle \frac{a_{98}}{2^{98}}+3\frac{a_{99}}{2^{99}}+3\frac{a_{100}}{2^{100}}+\frac{a_{101}}{2^{101}}=\frac1{9900}

을 구하면

(3-1) $\displaystyle \frac{a_n}{2^n}=\int_0^1x^n(1-x)^{102-n}dx$ 이므로 $\displaystyle \begin{aligned}\frac{a_{98}}{2^{98}}+3\frac{a_{99}}{2^{99}}+3\frac{a_{100}}{2^{100}}+\frac{a_{101}}{2^{101}}&=\int_0^1(x^{98}(1-x)^4+3x^{99}(1-x)^3+3x^{100}(1-x)^2+x^{101}(1-x))dx\\&=\int_0^1x^{98}(1-x)((1-x)^3+3x(1-x)^2+3x^2(1-x)+x^3)dx\\&=\int_0^1x^{98}(1-x)((1-x)+x)^3dx=\int_0^1(x^{98}-x^{99})dx\\&=\frac1{99}-\frac1{100}=\frac1{9900}\end{aligned}$ 그러므로 $\displaystyle p=9900$ , $\displaystyle q=1$ 이다.

+30점 ·

\displaystyle a_n

을 부분적분으로 계산을 진행하면

+30점 ·

\displaystyle a_n=\frac{102-n}{2(n+1)}a_{n+1}

을 얻으면

(3-2) $\displaystyle \begin{aligned}a_n&=2^n\int_0^1x^n(1-x)^{102-n}dx=2^n\Biggl[\frac{x^{n+1}}{n+1}(1-x)^{102-n}\Biggr]_0^1+2^n\int_0^1\frac{x^{n+1}}{n+1}(102-n)(1-x)^{101-n}dx\\&=2^n\frac{102-n}{n+1}\int_0^1x^{n+1}(1-x)^{101-n}dx=\frac{102-n}{2(n+1)}a_{n+1}\end{aligned}$ 이므로 $\displaystyle \frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{102-n}{2(n+1)}$ 이다.

+20점 · 답

\displaystyle n=1,2,3,\ldots,33

을 구하면

$\displaystyle \frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{102-n}{2(n+1)}\ge1$ 이 되려면 $\displaystyle 102-n\ge2n+2$ 이므로 $\displaystyle n\le\frac{100}3$ 이다. 그러므로 $\displaystyle n=1,2,3,\ldots,33$ 이다.

+30점 ·

\displaystyle a_{34}

가 최소임을 보여서

\displaystyle m=34

임을 구하면

(3-3) $\displaystyle a_1>a_2>\cdots>a_{33}>a_{34}<a_{35}<\cdots<a_{100}<a_{101}$ 이므로 $\displaystyle m=34$ 이다.

+10점 ·

\displaystyle a_{101}

을 구하면

+20점 ·

\displaystyle a_{34}

를 곱의 형태로 나열하면

그런데 $\displaystyle {}_{102}\mathrm C_{34}\times a_{34}={}_{102}\mathrm C_{34}\times\frac{a_{34}}{a_{35}}\times\frac{a_{35}}{a_{36}}\times\cdots\times\frac{a_{99}}{a_{100}}\times\frac{a_{100}}{a_{101}}\times a_{101}$ 이고 $\displaystyle a_{101}=\int_0^1(2x)^{101}(1-x)dx=2^{101}\int_0^1(x^{101}-x^{102})dx=2^{101}\Biggl[\frac{x^{102}}{102}-\frac{x^{103}}{103}\Biggr]_0^1=\frac{2^{101}}{102\times103}$ 이므로

+20점 ·

\displaystyle {}_{102}\mathrm C_{34}\times a_{34}=\frac{2^{34}}{103}

을 구하면

$\displaystyle {}_{102}\mathrm C_{34}\times a_{34}={}_{102}\mathrm C_{34}\times\frac{68}{2\times35}\times\frac{67}{2\times36}\times\cdots\times\frac3{2\times100}\times\frac2{2\times101}\times\frac{2^{101}}{102\times103}=\frac{2^{34}}{103}$ 이다.

그러므로 $\displaystyle p=103$ , $\displaystyle q=2^{34}$ 이다.

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