자연계열 1번

[1.1] $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$의 양변을 $\displaystyle x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{b^2x}{a^2y}$이므로 점 $\displaystyle P$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle \frac{b^2x_1}{a^2y_1}$이고, 점 $\displaystyle P$에서 법선의 기울기는 $\displaystyle -\frac{a^2y_1}{b^2x_1}$이다. 따라서 법선의 방정식은 $\displaystyle y=-\frac{a^2y_1}{b^2x_1}(x-x_1)+y_1$이다.

[1-2] $\displaystyle \angle PF_1Q=\theta_1$, $\displaystyle \angle PQF_2=\theta_2$, $\displaystyle \angle PF_2R=\theta_3$라 하자.직선 $\displaystyle F_1P$의 기울기는 $\displaystyle \tan\theta_1=\frac{y_1}{x_1+c}$, 점 $\displaystyle P$에서 접선의 기울기는 $\displaystyle \tan\theta_2=\frac{b^2x_1}{a^2y_1}$직선 $\displaystyle F_2P$의 기울기는 $\displaystyle \tan\theta_3=\frac{y_1}{x_1-c}$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\tan\alpha&=\tan(\theta_2-\theta_1)=\frac{\tan\theta_2-\tan\theta_1}{1+\tan\theta_2\tan\theta_1}\\&=\frac{\frac{b^2x_1}{a^2y_1}-\frac{y_1}{x_1+c}}{1+\frac{b^2x_1y_1}{a^2y_1(x_1+c)}}=\frac{b^2x_1(x_1+c)-a^2y_1^2}{a^2y_1(x_1+c)+b^2x_1y_1}=\frac{b^2(cx_1+a^2)}{cy_1(cx_1+a^2)}=\frac{b^2}{cy_1}\end{aligned}$$\displaystyle \because\frac{x_1^2}{a^2}-\frac{y_1^2}{b^2}=1,\quad a^2+b^2=c^2$$\displaystyle \begin{aligned}\tan\beta&=\tan(\theta_3-\theta_2)=\frac{\tan\theta_3-\tan\theta_2}{1+\tan\theta_3\tan\theta_2}\\&=\frac{\frac{y_1}{x_1-c}-\frac{b^2x_1}{a^2y_1}}{1+\frac{b^2x_1y_1}{a^2y_1(x_1-c)}}=\frac{a^2y_1^2-b^2x_1(x_1-c)}{a^2y_1(x_1-c)+b^2x_1y_1}=\frac{b^2(cx_1-a^2)}{cy_1(cx_1-a^2)}=\frac{b^2}{cy_1}\end{aligned}$따라서 $\displaystyle \alpha=\beta$이다.

[1.3] [1.2]로부터, 즉 쌍곡선의 반사성질로부터 빛의 경로를 나타내는 직선은 직선 $\displaystyle F_1P$의 일부이므로 빛의 경로를 나타내는 직선은 $\displaystyle y=\frac{y_1}{x_1+c}(x-x_1)+y_1$이다.

[1.4] 기울기 $\displaystyle m$인 쌍곡선의 두 접선의 방정식은 $\displaystyle y=mx\pm\sqrt{a^2m^2-b^2}$으로 주어지며, 두 평행한 접선이 원점에서 같은 거리에 있으므로 한 점으로부터 직선까지의 거리공식에 의하여$\displaystyle L(m)=\frac{2\sqrt{a^2m^2-b^2}}{\sqrt{m^2+1}}$이다.