자연계열 3번

[3.1] 사이클로이드 미끄럼틀 위 $\displaystyle P$점의 $\displaystyle x$좌표는 <그림 1>의 사이클로이드 $\displaystyle P$의 $\displaystyle x$좌표와 같다. 반면에 사이클로이드 미끄럼틀 위 $\displaystyle P$점의 $\displaystyle y$좌표는 <그림 1>의 사이클로이드 $\displaystyle P$의 $\displaystyle y$좌표를 $\displaystyle x$축을 중심으로 대칭 및 $\displaystyle 2r$만큼 평행이동을 하는 $\displaystyle y\to-y+2r$의 변환을 통해 얻어진다. 따라서 사이클로이드 미끄럼틀 위의 점 $\displaystyle P$의 좌표는 $\displaystyle P(x,y)=(r(\theta-\sin\theta),r(1+\cos\theta))$이다.

[3.2] $\displaystyle P$ 지점의 높이 $\displaystyle h$는 $\displaystyle P$ 지점의 $\displaystyle y$좌표이므로 $\displaystyle h=r(1+\cos\theta)$이다. 따라서 제시문 (나)를 이용하면 속력의 제곱은 $\displaystyle v^2=40r-20h=20r(1-\cos\theta)$를 만족한다. 그러므로 속력 $\displaystyle v=\sqrt{20r(1-\cos\theta)}$이다.

[3.3] 제시문 (다)를 이용하여 $\displaystyle P$ 지점의 속력 $\displaystyle v$는 매개변수 $\displaystyle \theta$로 표시할 수 있다.$\displaystyle x=\alpha(t),y=\beta(t)$라고 제시문 (다)에 사용한 표현을 인용하면, $\displaystyle v=\sqrt{\left(\frac{d\alpha(t)}{dt}\right)^2+\left(\frac{d\beta(t)}{dt}\right)^2}$이며, 문제 [3.1]의 결과를 이용하면 $\displaystyle \frac{d\alpha(t)}{dt}=r(1-\cos\theta)\frac{d\theta}{dt}$, $\displaystyle \frac{d\beta(t)}{dt}=-r\sin\theta\frac{d\theta}{dt}$이다.이를 정리하면, $\displaystyle v=\sqrt{\left(\frac{d\alpha(t)}{dt}\right)^2+\left(\frac{d\beta(t)}{dt}\right)^2}=r\sqrt{2(1-\cos\theta)}\frac{d\theta}{dt}$을 얻는다.문제 [3.2]에서 구한 결과와 종합하여 $\displaystyle v=\sqrt{20r(1-\cos\theta)}=r\sqrt{2(1-\cos\theta)}\frac{d\theta}{dt}$에서, $\displaystyle \frac{d\theta}{dt}=\sqrt{\frac{10}r}$를 얻는다.따라서 $\displaystyle \theta$는 시간 $\displaystyle t$에 대한 일차함수로 시간 $\displaystyle t=0$일 때 $\displaystyle \theta(t=0)=0$이므로, $\displaystyle \theta(t)=\sqrt{\frac{10}r}\,t$임을 알 수 있다.$\displaystyle P$ 지점의 좌표는 문제 [3.1]에 의해 $\displaystyle (x,y)=\left(r\left(\sqrt{\frac{10}r}\,t-\sin\left(\sqrt{\frac{10}r}\,t\right)\right),r\left(1+\cos\left(\sqrt{\frac{10}r}\,t\right)\right)\right)$이다.

[3.4] 물체가 $\displaystyle B$ 지점에 도착하였을 때의 좌표는 $\displaystyle (r\pi,0)$이므로, 문제 [3.3]의 결과를 이용하면$\displaystyle \alpha(t)=r\left(\sqrt{\frac{10}r}\,t-\sin\left(\sqrt{\frac{10}r}\,t\right)\right)=r\pi$, $\displaystyle \beta(t)=r\left(1+\cos\left(\sqrt{\frac{10}r}\,t\right)\right)=0$의 조건을 얻는다.이를 통해 $\displaystyle \cos\left(\sqrt{\frac{10}r}\,t\right)=-1$ 즉 $\displaystyle \sqrt{\frac{10}r}\,t=\pi$임을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle A$ 지점에서 출발하여 $\displaystyle B$ 지점에 도달하는데 걸린 총 시간 $\displaystyle t=\pi\sqrt{\frac r{10}}$이다.