수리논술, 이게 다다.

자연계열 3번

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서울과학기술대 2018학년도 수시 오전 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2018su_am/jayeon_3

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문제

[문제 3] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 아래의 <그림 1>은 반지름이 r\displaystyle r인 원이 왼쪽에서 오른쪽으로 x\displaystyle x축을 따라 미끄러지지 않고 굴러갈 때, 원 위의 고정된 한 점 P\displaystyle P가 그리는 궤적(A→B→C\displaystyle A\to B\to C)을 나타낸 것이다. 이를 사이클로이드라 한다. 점 P\displaystyle P의 좌표 (x,y)\displaystyle (x,y)를 매개변수 θ\displaystyle \theta로 나타내면x=r(θ−sin⁡θ),y=r(1−cos⁡θ)\displaystyle x=r(\theta-\sin\theta),\quad y=r(1-\cos\theta)이다. <그림 2>는 <그림 1>의 사이클로이드를 대칭 및 평행이동시켜서 만든 미끄럼틀이다. 이를 사이클로이드 미끄럼틀이라 하자.

구르는 원이 그리는 사이클로이드와 이를 변환한 미끄럼틀

(나) 사이클로이드 미끄럼틀을 따라 움직이는 물체가 P\displaystyle P 지점을 통과할 때 속력이 v\displaystyle v, x\displaystyle x축으로부터 높이가 h\displaystyle h이면, 이 물체의 속력과 높이는 식 v2+20h=40r\displaystyle v^2+20h=40r을 만족한다.(단, 물체는 정지상태에서 A\displaystyle A 지점을 출발한다.)

(다) 평면 운동을 하는 물체의 위치 P\displaystyle P의 좌표 (x,y)\displaystyle (x,y)를 x=α(t),y=β(t)\displaystyle x=\alpha(t),y=\beta(t)라 하면, 이 물체의 속력은v(t)=(dαdt)2+(dβdt)2\displaystyle v(t)=\sqrt{\left(\frac{d\alpha}{dt}\right)^2+\left(\frac{d\beta}{dt}\right)^2}이다. (단, t\displaystyle t는 시간을 나타낸다.)

[3.1] 사이클로이드 미끄럼틀 위의 점 P\displaystyle P의 좌표 (x,y)\displaystyle (x,y)를 r\displaystyle r과 θ\displaystyle \theta로 나타내시오.

[3.2] 제시문 (나)를 이용하여 사이클로이드 미끄럼틀 위에서 움직이는 물체가 P\displaystyle P 지점을 통과할 때의 속력 v\displaystyle v를 r\displaystyle r과 θ\displaystyle \theta로 나타내시오. (단, 물체는 정지상태에서 A\displaystyle A 지점을 출발한다.)

[3.3] 제시문 (다)를 이용하여 P\displaystyle P 지점에서 물체의 속력 v\displaystyle v를 r\displaystyle r, θ\displaystyle \theta 및 dθdt\displaystyle \frac{d\theta}{dt}로 나타내고, 문제 [3.2]의 결과를 사용하여 P\displaystyle P 지점의 좌표 (x,y)\displaystyle (x,y)를 시간 t\displaystyle t로 나타내시오.

[3.4] 사이클로이드 미끄럼틀 위의 물체가 정지상태에서 A\displaystyle A 지점을 출발하여 B\displaystyle B 지점에 도달할 때까지 걸린 총 시간을 구하시오.

해설강의 준비중

서울과학기술대 2018학년도 수시 오전 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2018su_am/jayeon_3

[3.1] 사이클로이드 미끄럼틀 위 P\displaystyle P점의 x\displaystyle x좌표는 <그림 1>의 사이클로이드 P\displaystyle P의 x\displaystyle x좌표와 같다. 반면에 사이클로이드 미끄럼틀 위 P\displaystyle P점의 y\displaystyle y좌표는 <그림 1>의 사이클로이드 P\displaystyle P의 y\displaystyle y좌표를 x\displaystyle x축을 중심으로 대칭 및 2r\displaystyle 2r만큼 평행이동을 하는 y→−y+2r\displaystyle y\to-y+2r의 변환을 통해 얻어진다. 따라서 사이클로이드 미끄럼틀 위의 점 P\displaystyle P의 좌표는 P(x,y)=(r(θ−sin⁡θ),r(1+cos⁡θ))\displaystyle P(x,y)=(r(\theta-\sin\theta),r(1+\cos\theta))이다.

[3.2] P\displaystyle P 지점의 높이 h\displaystyle h는 P\displaystyle P 지점의 y\displaystyle y좌표이므로 h=r(1+cos⁡θ)\displaystyle h=r(1+\cos\theta)이다. 따라서 제시문 (나)를 이용하면 속력의 제곱은 v2=40r−20h=20r(1−cos⁡θ)\displaystyle v^2=40r-20h=20r(1-\cos\theta)를 만족한다. 그러므로 속력 v=20r(1−cos⁡θ)\displaystyle v=\sqrt{20r(1-\cos\theta)}이다.

[3.3] 제시문 (다)를 이용하여 P\displaystyle P 지점의 속력 v\displaystyle v는 매개변수 θ\displaystyle \theta로 표시할 수 있다.x=α(t),y=β(t)\displaystyle x=\alpha(t),y=\beta(t)라고 제시문 (다)에 사용한 표현을 인용하면, v=(dα(t)dt)2+(dβ(t)dt)2\displaystyle v=\sqrt{\left(\frac{d\alpha(t)}{dt}\right)^2+\left(\frac{d\beta(t)}{dt}\right)^2}이며, 문제 [3.1]의 결과를 이용하면 dα(t)dt=r(1−cos⁡θ)dθdt\displaystyle \frac{d\alpha(t)}{dt}=r(1-\cos\theta)\frac{d\theta}{dt}, dβ(t)dt=−rsin⁡θdθdt\displaystyle \frac{d\beta(t)}{dt}=-r\sin\theta\frac{d\theta}{dt}이다.이를 정리하면, v=(dα(t)dt)2+(dβ(t)dt)2=r2(1−cos⁡θ)dθdt\displaystyle v=\sqrt{\left(\frac{d\alpha(t)}{dt}\right)^2+\left(\frac{d\beta(t)}{dt}\right)^2}=r\sqrt{2(1-\cos\theta)}\frac{d\theta}{dt}을 얻는다.문제 [3.2]에서 구한 결과와 종합하여 v=20r(1−cos⁡θ)=r2(1−cos⁡θ)dθdt\displaystyle v=\sqrt{20r(1-\cos\theta)}=r\sqrt{2(1-\cos\theta)}\frac{d\theta}{dt}에서, dθdt=10r\displaystyle \frac{d\theta}{dt}=\sqrt{\frac{10}r}를 얻는다.따라서 θ\displaystyle \theta는 시간 t\displaystyle t에 대한 일차함수로 시간 t=0\displaystyle t=0일 때 θ(t=0)=0\displaystyle \theta(t=0)=0이므로, θ(t)=10r t\displaystyle \theta(t)=\sqrt{\frac{10}r}\,t임을 알 수 있다.P\displaystyle P 지점의 좌표는 문제 [3.1]에 의해 (x,y)=(r(10r t−sin⁡(10r t)),r(1+cos⁡(10r t)))\displaystyle (x,y)=\left(r\left(\sqrt{\frac{10}r}\,t-\sin\left(\sqrt{\frac{10}r}\,t\right)\right),r\left(1+\cos\left(\sqrt{\frac{10}r}\,t\right)\right)\right)이다.

[3.4] 물체가 B\displaystyle B 지점에 도착하였을 때의 좌표는 (rπ,0)\displaystyle (r\pi,0)이므로, 문제 [3.3]의 결과를 이용하면α(t)=r(10r t−sin⁡(10r t))=rπ\displaystyle \alpha(t)=r\left(\sqrt{\frac{10}r}\,t-\sin\left(\sqrt{\frac{10}r}\,t\right)\right)=r\pi, β(t)=r(1+cos⁡(10r t))=0\displaystyle \beta(t)=r\left(1+\cos\left(\sqrt{\frac{10}r}\,t\right)\right)=0의 조건을 얻는다.이를 통해 cos⁡(10r t)=−1\displaystyle \cos\left(\sqrt{\frac{10}r}\,t\right)=-1 즉 10r t=π\displaystyle \sqrt{\frac{10}r}\,t=\pi임을 알 수 있다. 따라서 A\displaystyle A 지점에서 출발하여 B\displaystyle B 지점에 도달하는데 걸린 총 시간 t=πr10\displaystyle t=\pi\sqrt{\frac r{10}}이다.

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