자연계열 2번

[2.1] 홍길동이 주사위를 네 번 던져 네 번째에 처음으로 점 $\displaystyle A$에 도착하기 위해서는, 주사위를 세 번 던질 때까지 점 $\displaystyle A$에 도착한 적이 없어야 한다. 이러한 경우의 수는 주사위를 첫 번째 던져 점 $\displaystyle A$를 제외한 세 점에 도착하는 3가지, 두 번째와 세 번째 던져 점 $\displaystyle A$와 현재 있는 점을 제외한 두 점에 도착하는 2가지이다. 따라서 이러한 경우의 수는 $\displaystyle 3\times2\times2=12$가지이다. 홍길동이 주사위를 네 번 던질 때 확률은 $\displaystyle \left(\frac1{3^4}\right)$이므로 구해지는 확률은 $\displaystyle 3\times2^2\times\left(\frac1{3^4}\right)=\frac{2^2}{3^3}=\frac4{27}$이다.

[2.2] 홍길동이 주사위를 $\displaystyle n$번($\displaystyle n\geq2$) 던져 $\displaystyle n$번째에 처음으로 점 $\displaystyle A$에 도착하게 되는 경우의 수는 주사위를 $\displaystyle (n-1)$번 던질 때까지 점 $\displaystyle A$에 도착한 적이 없는 경우의 수와 동일하다. 홍길동이 주사위를 두 번, 세 번, 네 번 던져 처음으로 점 $\displaystyle A$에 도착하게 되는 경우의 수는 각각 3가지, $\displaystyle 3\times2$가지, $\displaystyle 3\times2\times2$가지이다. 이를 일반화하면 홍길동이 주사위를 $\displaystyle n$번 던져 $\displaystyle n$번째에 처음으로 점 $\displaystyle A$에 도착하게 되는 경우의 수는 $\displaystyle 3\times2^{n-2}$가지이다. 따라서 홍길동이 주사위를 $\displaystyle n$번 던져 $\displaystyle n$번째에 처음으로 점 $\displaystyle A$에 도착하게 되는 확률은 $\displaystyle \frac{3\times2^{n-2}}{3^n}=\frac{2^{n-2}}{3^{n-1}}$이다.

[2.3] 홍길동이 주사위를 두 번, 세 번, 네 번, 다섯 번 던져 점 $\displaystyle A$에 도착하게 되어 이동이 종료될 확률은 문제 [2.2]의 해답에서 구한 바와 같이 각각 $\displaystyle \frac13$, $\displaystyle \frac29$, $\displaystyle \frac4{27}$, $\displaystyle \frac8{81}$이다. 홍길동이 주사위를 던져 다섯 번 이내에 이동이 종료될 확률은 앞선 네 개의 확률을 모두 더한 값으로 $\displaystyle \frac13+\frac29+\frac4{27}+\frac8{81}=\frac{65}{81}$이다.

[2.4] 홍길동이 주사위를 $\displaystyle n$번 던져 $\displaystyle n$번 이내에 이동이 종료될 확률은 문제 [2.2]의 해답에서 구한 모든 확률을 더한 것으로 다음 식과 같이 구한다.$\displaystyle \sum_{k=2}^n\frac{2^{k-2}}{3^{k-1}}=\sum_{k=2}^n\left(\frac13\right)\left(\frac23\right)^{k-2}=\left(\frac13\right)\frac{\left(\frac23\right)^{n-1}-1}{\frac23-1}=\left(\frac13\right)\frac{1-\left(\frac23\right)^{n-1}}{1-\frac23}=1-\left(\frac23\right)^{n-1}$

[2.5] 홍길동이 주사위를 네 번 던져 점 $\displaystyle A,B,C,D$에 도착하는 경우의 수와 확률은 다음과 같이 구한다.① 점 $\displaystyle A$에 도착하는 경우의 수는 $\displaystyle 3\times(3+2+2)=21$이며 확률은 $\displaystyle \frac{21}{3^4}$이다.② 점 $\displaystyle B$에 도착하는 경우의 수는 $\displaystyle 2\times(3+2+2)+(2+2+2)=20$이며 확률은 $\displaystyle \frac{20}{3^4}$이다.③ 점 $\displaystyle C$에 도착하는 경우의 수는 $\displaystyle 2\times(3+2+2)+(2+2+2)=20$이며 확률은 $\displaystyle \frac{20}{3^4}$이다.④ 점 $\displaystyle D$에 도착하는 경우의 수는 $\displaystyle 2\times(3+2+2)+(2+2+2)=20$이며 확률은 $\displaystyle \frac{20}{3^4}$이다.홍길동이 주사위를 네 번 던져 얻는 점수를 확률 변수 $\displaystyle X$라 하면 $\displaystyle X$의 값은 $\displaystyle 10,20,30,40$이다.확률변수 $\displaystyle X$의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

확률변수 $\displaystyle X$의 기댓값 $\displaystyle E(X)$는 다음과 같이 구한다.$\displaystyle \begin{aligned}E(X)&=10\times P(X=10)+20\times P(X=20)+30\times P(X=30)+40\times P(X=40)\\&=10\times\frac{21}{3^4}+20\times\frac{20}{3^4}+30\times\frac{20}{3^4}+40\times\frac{20}{3^4}=\frac{670}{27}\end{aligned}$