자연계열 2번

[2.1] $\displaystyle f(0)=0$ 또는 $\displaystyle \boxed{f(1)=1}$이면 $\displaystyle 0$ 또는 $\displaystyle 1$은 고정점이다. $\displaystyle f(0)\neq0$이고 $\displaystyle f(1)\neq1$일 때, $\displaystyle g(x)=f(x)-x$라 하면, $\displaystyle g$는 닫힌 구간 $\displaystyle [0,1]$에서 연속이다.$\displaystyle \boxed{g(0)}>0$이고 $\displaystyle \boxed{g(1)}<0$이므로 사이값 정리에 의해 $\displaystyle \boxed{g(c)=0}$인 $\displaystyle c$가 열린 구간 $\displaystyle (0,1)$에 존재한다.$\displaystyle f(c)=c$이므로 $\displaystyle c$는 고정점이다.$\displaystyle \mathrm{(A)}\ f(1)=1\qquad\mathrm{(B)}\ g(0)\qquad\mathrm{(C)}\ g(1)\qquad\mathrm{(D)}\ g(c)=0$

[2.2] 고정점이 유일하다는 것을 보이기 위해 두 개의 고정점 $\displaystyle a,b$가 집합 $\displaystyle X$에 있다고 가정하면 $\displaystyle f(a)=a,f(b)=b$이다.$\displaystyle f$는 닫힌 구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속, 열린 구간 $\displaystyle (a,b)$에서 미분가능이므로 평균값 정리에 의해 $\displaystyle f^{\prime}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$인 $\displaystyle c$가 열린 구간 $\displaystyle (a,b)$에 존재한다.그러나 $\displaystyle a,b$는 고정점이므로 $\displaystyle f^{\prime}(c)=\frac{b-a}{b-a}=1$이다. 따라서 열린 구간 $\displaystyle (0,1)$에 속하는 모든 $\displaystyle x$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)\neq1$이라는 조건에 모순이다. 그러므로 고정점은 유일하다.

[2.3] $\displaystyle g(x)=f(x)-x=\frac{e^x+e^{-x}}2-x$라 하자.$\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac12(e^x-e^{-x})-1=0$으로부터 $\displaystyle e^{2x}-2e^x-1=0$따라서 $\displaystyle e^x=1+\sqrt2$이므로 $\displaystyle x=\ln(1+\sqrt2)$이다.

따라서 $\displaystyle g(x)$의 극솟값(최솟값)은 $\displaystyle g(\ln(1+\sqrt2))=\sqrt2-\ln(1+\sqrt2)$이다.한편 $\displaystyle 1+\sqrt2=2.4<2.7=e$이므로 $\displaystyle \ln(1+\sqrt2)<\ln e=1$이고, 최솟값은 $\displaystyle \sqrt2-\ln(1+\sqrt2)>0$이다.Comment. 여기서 $\displaystyle 2.4$와 $\displaystyle 2.7$은 각각 $\displaystyle 1+\sqrt{2}$와 $\displaystyle e$의 근삿값이다. 정확한 값은 $\displaystyle 1+\sqrt{2}\approx2.4142$, $\displaystyle e\approx2.7183$이므로, $\displaystyle 1+\sqrt{2}<e$라는 비교는 그대로 성립한다.따라서 $\displaystyle g(x)=0$인 해가 존재하지 않으므로 $\displaystyle f(x)=x$을 만족하는 해가 존재하지 않고, 따라서 $\displaystyle f$의 고정점은 존재하지 않는다.