경상계열 2번

[문항 1]정기적금의 원리합계는 등비수열의 합 공식을 적용한다.($\displaystyle a$: 매년 납입액, $\displaystyle r$: 연 이자율(복리), $\displaystyle n$: 만기, $\displaystyle S_n$: 만기 연도 말의 원리합계)<g1>매년 초 납입: $\displaystyle S_n=a(1+r)+a(1+r)^2+\cdots+a(1+r)^n=\frac{a(1+r)[(1+r)^n-1]}r$매년 말 납입: $\displaystyle S_n=a+a(1+r)+a(1+r)^2+\cdots+a(1+r)^{n-1}=\frac{a[(1+r)^n-1]}r$</g1><g2>따라서 B은행의 경우에는 $\displaystyle 100(1.05)(1.0510-1)\div0.05=105(1.6-1)\div0.05=1,260$원Correction. 문항 1 해설의 “1.0510”, “1.0610”은 각각 $\displaystyle 1.05^{10}$, $\displaystyle 1.06^{10}$의 오기이다. 10년 복리를 계산하는 식에서 $\displaystyle 10$이 지수로 표시되지 않았다. 문제에 주어진 값과 뒤 계산은 지수 $\displaystyle 10$을 적용한 식에 맞는다. 원문 표기는 그대로 실었다.C은행의 경우에는 $\displaystyle 100(1.0610-1)\div0.06=100(1.8-1)\div0.06=1,333.33\cdots$ → 소숫점 이하 절사하면 1,333원</g2>

<g0>C은행 정기적금에 가입하는 것이 73원 유리하므로 C은행을 선택하는 것이 합리적 선택임.</g0>

[문항 2]제약조건을 만족시키는 집합에서 최대 이익을 얻을 수 있는 경우를 발견하는 문제이다.<g3>이윤($\displaystyle \pi$)=$\displaystyle x\times y$를 목적함수로 설정하고,제약조건은 $\displaystyle 100x+200y\le20,000$과 $\displaystyle x,y\ge0$ 설정함.</g3>

제약조건을 $\displaystyle y$에 대해 정리하면, $\displaystyle y\le100-0.5x$목표함수인 $\displaystyle x\times y$에 $\displaystyle y=100-0.5x$를 대입하면, $\displaystyle x(100-0.5x)=-0.5x^2+100x$이 식을 완전제곱식으로 정리하면, $\displaystyle -0.5(x^2-200x+10,000)+5,000=-0.5(x-100)^2+5,000$<g4>$\displaystyle x$가 100일 때 최대이윤을 얻을 수 있으므로</g4>, <g5>$\displaystyle y$는 50</g5>, <g6>최대이윤은 5,000이 됨.</g6>

[문항 3]올해 말 자기자본을 $\displaystyle A$(원)이라 하면, 올해 말 부채는 $\displaystyle 4A$(원)이고, $\displaystyle n$년 후의 자기자본과 부채는 각각 $\displaystyle A\times(1.2)^n$(원), $\displaystyle 4A\times(0.9)^n$(원)이 된다.부채비율은 ‘부채÷자기자본’이므로 $\displaystyle n$년 후의 부채비율이 100% 미만이 되기 위해서는 <g7>$\displaystyle [4A\times(0.9)^n]\div[A\times(1.2)^n]<1$의 조건을 충족시켜야 한다.$\displaystyle A$를 약분한 후 ‘$\displaystyle 4\times(0.9)^n<(1.2)^n$’의 양변에 상용로그를 취하면, $\displaystyle \log4+n\log0.9<n\log1.2$가 되고, $\displaystyle n$으로 묶어서 정리하면 $\displaystyle \log4<n(\log1.2-\log0.9)$가 되며, 계속 정리하면, $\displaystyle \log4<n(\log\frac{1.2}{0.9})$ → $\displaystyle \log4<n(\log\frac43)$ → $\displaystyle 2\log2<n(2\log2-\log3)$Correction. 문항 3의 문항해설과 예시답안에서 $\displaystyle n=\frac{\log4}{\log(4/3)}$의 등호는 부등호 $\displaystyle >$의 오기이다.$\displaystyle 4(0.9)^n<(1.2)^n$을 정리하면$\displaystyle n>\frac{\log4}{\log(4/3)}$이다. 이를 만족하는 최소 자연수 $\displaystyle n=5$라는 결론은 맞다. 원문 표기는 그대로 실었다.결국 $\displaystyle n=\frac{2\log2}{2\log2-\log3}=\frac{2\times0.3010}{2\times0.3010-0.4771}=\frac{6,020}{6,020-4,771}=\frac{6,020}{1,249}=4.8198\cdots$</g7>(4초과 5미만)므로 연도로 환산하기 위해 올림을 하면 <g8>정답은 5년이 됨.</g8>