자연계열 I 2번

위의 그림과 같이 시각 $\displaystyle t=0$에서의 점 $\displaystyle \mathrm P$의 위치를 $\displaystyle \mathrm A$로 나타내고 곡선 $\displaystyle y=\sqrt{-x^2+2x}$를 만날 때의 점 $\displaystyle \mathrm P$의 위치를 $\displaystyle \mathrm Q$로 나타내자.$\displaystyle 1\le x\le2$일 때 곡선 $\displaystyle y=\sqrt{-x^2+2x}$은 중심이 $\displaystyle \mathrm C(1,0)$이고 반지름이 1인 원의 일부이므로, 위의 그림에서 $\displaystyle \angle\mathrm{QCB}=\theta$이면 $\displaystyle \mathrm Q=(1+\cos\theta,\sin\theta)$이다.점 $\displaystyle \mathrm P$가 곡선 $\displaystyle y=\sqrt{-x^2+2x}$를 만날때의 시각을 $\displaystyle T$라고 하면, 조건 (ii)에 의하여 $\displaystyle 0\le t\le T$일 때 시각 $\displaystyle t$에서의 점 $\displaystyle \mathrm P$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle x_0+\int_0^t u\,du$인데 $\displaystyle x_0=0$이므로 $\displaystyle \frac{t^2}2$이다.따라서 점 $\displaystyle \mathrm P$의 시각 $\displaystyle t$에서의 위치는 $\displaystyle \left(\frac{t^2}2,h\right)$이고 $\displaystyle h=\sin\theta$이다.또한 $\displaystyle \frac{T^2}2=1+\cos\theta$로부터 $\displaystyle T=\sqrt{2(1+\cos\theta)}$이다.점 $\displaystyle \mathrm P$는 점 $\displaystyle \mathrm Q$로부터 $\displaystyle (2,0)$까지 곡선 $\displaystyle y=\sqrt{-x^2+2x}$ 위를 속력 $\displaystyle \sqrt3$으로 움직이는데 이때 점 $\displaystyle \mathrm P$가 움직이는 거리는 $\displaystyle r\theta=\theta$이므로, 곡선 $\displaystyle y=\sqrt{-x^2+2x}$를 움직이는데 걸리는 시간은 $\displaystyle \frac\theta{\sqrt3}$이다.따라서 점 $\displaystyle \mathrm P$가 $\displaystyle (0,h)=(0,\sin\theta)$를 출발하여 $\displaystyle (2,0)$에 도착하는데 걸리는 시간 $\displaystyle t(\theta)$와 $\displaystyle t(\theta)$의 도함수 및 이계도함수는 각각 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}t(\theta)&=\sqrt{2+2\cos\theta}+\frac\theta{\sqrt3}\\t^{\prime}(\theta)&=\frac{-\sin\theta}{\sqrt{2+2\cos\theta}}+\frac1{\sqrt3}\\t^{\prime\prime}(\theta)&=-\frac{\sqrt{2(1+\cos\theta)}}4\end{aligned}$$\displaystyle \theta=\theta_1$에서 함수 $\displaystyle t(\theta)$가 극값을 가질 때 $\displaystyle t^{\prime}(\theta_1)=0$이므로$\displaystyle \frac{\sin\theta_1}{\sqrt{2+2\cos\theta_1}}=\frac1{\sqrt3},\quad\frac{\sin^2\theta_1}{2+2\cos\theta_1}=\frac{1-\cos^2\theta_1}{2(1+\cos\theta_1)}$$\displaystyle 0\le\theta_1\le\frac\pi2$이므로 $\displaystyle 1+\cos\theta_1\ne0$이고 $\displaystyle \frac{1-\cos\theta_1}2=\frac13$이로부터 $\displaystyle \cos\theta_1=\frac13$이고 $\displaystyle \sin\theta_1=\frac{2\sqrt2}3$이다. 이때 $\displaystyle t(\theta_1)$은 $\displaystyle 0\le\theta\le\frac\pi2$에서 유일한 극값이고, $\displaystyle t^{\prime\prime}(\theta_1)<0$이므로 $\displaystyle t(\theta_1)$은 극댓값이다.그러므로 $\displaystyle t(\theta)$는 $\displaystyle \theta=\theta_1$에서 최댓값을 가지고 이때 $\displaystyle h=\sin\theta_1=\frac{2\sqrt2}3$이다.