자연계열 I 1번

방정식 $\displaystyle f(x)=0$의 해를 $\displaystyle \alpha=2-\sqrt5$, $\displaystyle \beta=2+\sqrt5$, $\displaystyle \gamma$라 하면 $\displaystyle f(x)$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.$\displaystyle f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma$변곡점 $\displaystyle \mathrm P$를 찾기 위하여 함수 $\displaystyle f(x)$의 이계도함수를 구하면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}&f^{\prime}(x)=3x^2-2(\alpha+\beta+\gamma)x+\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha\\&\Rightarrow f^{\prime\prime}(x)=6x-2(\alpha+\beta+\gamma)\end{aligned}$그러므로 곡선 $\displaystyle y=f(x)$의 변곡점의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle p$라고 하면, $\displaystyle p=\frac{\alpha+\beta+\gamma}3=\frac{4+\gamma}3$이다. 조건 (iii)에 의하여 $\displaystyle p=\frac{4+\gamma}3$가 양의 정수여야 한다.1) $\displaystyle p=1$일 때 $\displaystyle \gamma=-1$이다. 이때 $\displaystyle f(x)=(x-2+\sqrt5)(x-2-\sqrt5)(x+1)$이므로 점 $\displaystyle \mathrm P$의 좌표는 $\displaystyle (1,-8)$이고 점 $\displaystyle \mathrm C$의 좌표는 $\displaystyle (-1,0)$이다. 점 $\displaystyle \mathrm P$의 $\displaystyle x$좌표가 원점과 점 $\displaystyle \mathrm C$의 $\displaystyle x$좌표보다 크므로 각 $\displaystyle \mathrm{COP}$는 $\displaystyle \frac\pi2$보다 크게 되어 $\displaystyle \triangle\mathrm{OCP}$는 둔각삼각형이 된다.따라서 $\displaystyle f(x)=(x-2+\sqrt5)(x-2-\sqrt5)(x+1)$는 조건 (iv)를 만족시키지 못한다.2) $\displaystyle p=2$일 때 $\displaystyle \gamma=2$이다. 이때 $\displaystyle f(x)=(x-2+\sqrt5)(x-2-\sqrt5)(x-2)$이므로 점 $\displaystyle \mathrm P$의 좌표는 $\displaystyle (2,0)$이고 점 $\displaystyle \mathrm C$의 좌표는 $\displaystyle (2,0)$이다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm O$, 점 $\displaystyle \mathrm P$, 점 $\displaystyle \mathrm B$, 점 $\displaystyle \mathrm C$는 모두 $\displaystyle x$축 위에 있으므로 예각삼각형을 이루지 못한다.3) $\displaystyle p=3$일 때 $\displaystyle \gamma=5$이다. 이때 $\displaystyle f(x)=(x-2+\sqrt5)(x-2-\sqrt5)(x-5)$이므로 점 $\displaystyle \mathrm P$의 좌표는 $\displaystyle (3,8)$이고 점 $\displaystyle \mathrm C$의 좌표는 $\displaystyle (5,0)$이다.$\displaystyle \triangle\mathrm{POC}$의 변의 길이의 제곱은 각각 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}\overline{\mathrm{OP}}^2&=3^2+8^2=73\\\overline{\mathrm{PC}}^2&=2^2+8^2=68\\\overline{\mathrm{OC}}^2&=5^2=25\end{aligned}$이때 가장 긴 변의 길이는 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}^2<\overline{\mathrm{PC}}^2+\overline{\mathrm{OC}}^2$이므로 $\displaystyle \triangle\mathrm{POC}$는 예각삼각형이다.각 $\displaystyle \mathrm{OPB}$는 각 $\displaystyle \mathrm{OPC}$보다 작고, 점 $\displaystyle \mathrm P$의 $\displaystyle x$좌표가 원점의 $\displaystyle x$좌표보다 크고 점 $\displaystyle \mathrm B$의 $\displaystyle x$좌표 $\displaystyle 2+\sqrt5$보다 작으므로 $\displaystyle \triangle\mathrm{OPB}$는 예각삼각형이다.따라서 $\displaystyle f(x)=(x-2+\sqrt5)(x-2-\sqrt5)(x-5)$는 조건 (iv)를 만족시킨다.4) $\displaystyle p=4$일 때 $\displaystyle \gamma=8$이다. 이때 $\displaystyle f(x)=(x-2+\sqrt5)(x-2-\sqrt5)(x-8)$이므로 점 $\displaystyle \mathrm P$의 좌표는 $\displaystyle (4,4)$이고 점 $\displaystyle \mathrm C$의 좌표는 $\displaystyle (8,0)$이다.$\displaystyle \triangle\mathrm{OPC}$의 변의 길이의 제곱은 각각 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}\overline{\mathrm{OP}}^2&=4^2+4^2=32\\\overline{\mathrm{PC}}^2&=4^2+4^2=32\\\overline{\mathrm{OC}}^2&=8^2=64\end{aligned}$이때 가장 긴 변의 길이는 $\displaystyle \overline{\mathrm{OC}}$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{OC}}^2=\overline{\mathrm{PC}}^2+\overline{\mathrm{OP}}^2$이므로 $\displaystyle \triangle\mathrm{POC}$는 직각삼각형이다.따라서 $\displaystyle f(x)=(x-2+\sqrt5)(x-2-\sqrt5)(x-8)$는 조건 (iv)를 만족시키지 못한다.5) $\displaystyle p\ge5$이면 점 $\displaystyle \mathrm P$의 $\displaystyle x$좌표가 원점과 점 $\displaystyle \mathrm B$의 $\displaystyle x$좌표보다 크다. 따라서 각 $\displaystyle \mathrm{OBP}$는 $\displaystyle \frac\pi2$보다 크게 되어 $\displaystyle \triangle\mathrm{OBP}$는 둔각삼각형이 된다. 이 경우 함수 $\displaystyle f(x)$는 조건 (iv)를 만족시키지 못한다.1)-5)로부터 문제의 조건을 모두 만족하는 삼차함수 $\displaystyle f(x)$는 1개이고 이때 함수 $\displaystyle f(x)$는 다음과 같다.$\displaystyle f(x)=(x-2+\sqrt5)(x-2-\sqrt5)(x-5)=(x^2-4x-1)(x-5)=x^3-9x^2+19x+5$