자연계열 I 3번

(1) 우주선의 시각 $\displaystyle t$에서의 위치는 $\displaystyle x=\sqrt2t-2\sqrt2$, $\displaystyle y=2t-5$이다.시각 $\displaystyle t$에서 우주선과 혜성 사이의 거리를 $\displaystyle r(t)$라고 할 때$\displaystyle (r(t))^2=2(t-2)^2+(t^2-4t+8)^2$$\displaystyle s(t)=(r(t))^2$이라고 하고 함수 $\displaystyle s(t)$의 도함수를 구하자.$\displaystyle s^{\prime}(t)=4(t-2)+2(t^2-4t+8)(2t-4)=4(t-2)(t^2-4t+9)$이로부터 함수 $\displaystyle s(t)$의 증감을 표로 나타내면 다음과 같다.

그러므로 함수 $\displaystyle s(t)$는 $\displaystyle t=2$에서 최솟값 16을 가지고, 이때 $\displaystyle r(2)=4$이다.즉, 혜성과 우주선 사이의 거리가 최소가 되는 시각은 $\displaystyle t=2$이고 그 때의 혜성과 우주선 사이의 거리는 4이다.

(2) 혜성을 가능한 가장 가까운 거리에서 관측하기 위해서는 혜성이 움직이는 곡선 $\displaystyle C$ 위의 점과 우주선이 움직이는 직선 $\displaystyle \ell$ 위의 점 중 가장 가까운 두 점을 혜성과 우주선이 각각 같은 시각에 지나야 한다.우주선이 움직이는 직선의 기울기는 $\displaystyle \sqrt2$이므로 곡선 $\displaystyle C$ 위의 점 중 직선 $\displaystyle \ell$과 가장 가까운 점을 $\displaystyle \mathrm P$라고 할 때, 곡선 $\displaystyle C$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm P$에서 접하는 접선의 기울기는 $\displaystyle \sqrt2$이다. 매개변수로 나타낸 함수의 미분법에 의하여 곡선 $\displaystyle C$ 위의 시각 $\displaystyle t$에서의 점에서 접하는 접선의 기울기 $\displaystyle \frac{dy}{dx}$는$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{2t-2}{2\sqrt2}$따라서 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\sqrt2$일 때, 즉 $\displaystyle t=3$일 때 곡선 $\displaystyle C$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm P$와 직선 $\displaystyle \ell$ 사이의 거리가 최솟값이 된다.$\displaystyle t=3$일 때의 혜성의 위치는 $\displaystyle \mathrm P(2\sqrt2,6)$이다. 점 $\displaystyle \mathrm P$에서 직선 $\displaystyle \ell$에 내린 수선을 직선 $\displaystyle \ell^{\prime}$이라고 할 때 직선 $\displaystyle \ell^{\prime}$은 기울기가 $\displaystyle -\frac1{\sqrt2}$이고 점 $\displaystyle \mathrm P(2\sqrt2,6)$를 지나는 직선이다.$\displaystyle \ell^{\prime}:y=-\frac1{\sqrt2}(x-2\sqrt2)+6=-\frac1{\sqrt2}x+8,$직선 $\displaystyle \ell$과 $\displaystyle \ell^{\prime}$의 교점 $\displaystyle \mathrm Q$의 위치를 일차연립방정식으로 계산하면 $\displaystyle \mathrm Q(3\sqrt2,5)$이다.시각 $\displaystyle t=0$일 때의 우주선의 위치를 $\displaystyle (x_0,\sqrt2x_0-1)$이라고 하면 시각 $\displaystyle t$에서의 우주선의 위치를$\displaystyle x=\sqrt2t+x_0,\quad y=2t+\sqrt2x_0-1$로 놓을 수 있다.$\displaystyle t=3$일 때 우주선이 점 $\displaystyle \mathrm Q(3\sqrt2,5)$를 지나야 하므로,$\displaystyle 3\sqrt2=3\sqrt2+x_0,\quad5=6+\sqrt2x_0-1$따라서 $\displaystyle t=0$일 때 $\displaystyle x_0=0$이고 우주선의 위치는 $\displaystyle (0,-1)$이다.