자연계열 II 4번

(1) 점 $\displaystyle \mathrm P$가 문제의 조건을 만족시키면서 직선 $\displaystyle \ell:y=-3x+10$ 위의 점까지 가장 빨리 도착하기 위해서는 점 $\displaystyle \mathrm Q$와 $\displaystyle \mathrm R$을 잇는 직선이 직선 $\displaystyle \ell$과 수직이어야 한다. 이때 점 $\displaystyle \mathrm Q$와 $\displaystyle \mathrm R$을 잇는 직선의 기울기는 $\displaystyle \frac13$이고 점 $\displaystyle \mathrm O$와 $\displaystyle \mathrm Q$를 잇는 직선의 기울기는 2이다.직선 $\displaystyle \ell$과 $\displaystyle x$축의 교점을 $\displaystyle \mathrm T$라고 하고 $\displaystyle \theta_1=\angle\mathrm{QOT}$라고 하자. 또한 점 $\displaystyle \mathrm Q$를 지나고 $\displaystyle x$축과 평행한 직선이 직선 $\displaystyle \ell$과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm S$라고 하고 $\displaystyle \theta_2=\angle\mathrm{RQS}$라고 하자. 그러면$\displaystyle \tan\theta_1=2,\quad\tan\theta_2=\frac13,\quad\tan\theta=\tan(\pi-\theta_1+\theta_2)=\tan(\theta_2-\theta_1)$

삼각함수의 덧셈정리에 의하여$\displaystyle \tan(\theta_2-\theta_1)=\frac{\tan\theta_2-\tan\theta_1}{1+\tan\theta_2\tan\theta_1}=\frac{\frac13-2}{1+\frac23}=-1$그러므로 $\displaystyle \tan\theta=-1$이다.

(2) 원점과 함수 $\displaystyle y=3-x^4$의 그래프 위의 점 $\displaystyle (x,3-x^4)$을 잇는 선분의 길이는 $\displaystyle \sqrt{x^2+x^8-6x^4+9}$이고, 점 $\displaystyle (x,3-x^4)$과 직선 $\displaystyle \ell:y=-3x+10$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{|3x+(3-x^4)-10|}{\sqrt{10}}$이다. 그러므로 점 $\displaystyle \mathrm P$가 원점을 출발하여 점 $\displaystyle \mathrm Q(x,3-x^4)$까지 움직인 후 $\displaystyle \mathrm Q$에서 직선 $\displaystyle \ell$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm R$에 내린 수선을 따라 움직일 때 점 $\displaystyle \mathrm R$에 도착하기까지 걸리는 시간은 다음과 같다.$\displaystyle t(x)=\frac{\sqrt{x^2+x^8-6x^4+9}}a+\frac{|3x+(3-x^4)-10|}{\sqrt{10}}$문제의 그림으로부터 $\displaystyle 3x+(3-x^4)-10<0$이므로$\displaystyle t(x)=\frac{\sqrt{x^2+x^8-6x^4+9}}a-\frac{3x+(3-x^4)-10}{\sqrt{10}}$이고 함수 $\displaystyle t(x)$는 미분가능하다.$\displaystyle t(x)$는 $\displaystyle x=1$일 때 최솟값을 가지므로 $\displaystyle t^{\prime}(1)=0$이다. 함수 $\displaystyle t(x)$의 도함수를 계산하면$\displaystyle \begin{aligned}t^{\prime}(x)&=\frac{8x^7-24x^3+2x}{2a\sqrt{x^8-6x^4+x^2+9}}+\frac{4x^3-3}{\sqrt{10}},\\t^{\prime}(1)&=\frac{-14}{2a\sqrt5}+\frac1{\sqrt{10}}=0\end{aligned}$따라서 $\displaystyle a=7\sqrt2$이다.