자연계열 I 1번

$\displaystyle 5$개의 동전 중 임의로 하나를 선택하여 뒤집는 시행에서 앞면이 보이는 동전을 선택하는 사건을 $\displaystyle \mathrm{H}$, 뒷면이 보이는 동전을 선택하는 사건을 $\displaystyle \mathrm{T}$로 나타내자. 이 시행을 반복하여 동전이 모두 같은 면이 되면 멈추기로 할 때, 매 시행에서 어떤 동전이 선택되었는지를 연속된 $\displaystyle \mathrm{H}$와 $\displaystyle \mathrm{T}$로 나타내기로 하자. 사건 $\displaystyle A$는 다음과 같다.$\displaystyle A = \left\{ \mathrm{HH} , \mathrm{TTT} , \mathrm{HTHH} , \mathrm{THHH} \right\}$

사건 $\displaystyle A$를 구성하는 각 사건들의 확률은 아래와 같다.$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{P} ( X &= 2 ) = \frac{{2}}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{2}{25}\\\mathrm{P} ( X &= 3 ) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{6}{125}\\\mathrm{P} ( X &= 4 ) = \frac{2}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{5} + \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{34}{625}\end{aligned}$

확률의 덧셈정리에 의해,$\displaystyle \mathrm{P} ( A ) = \mathrm{P} ( X = 2 ) + \mathrm{P} ( X = 3 ) + \mathrm{P} ( X = 4 ) = \frac{114}{625}$이다. 사건 $\displaystyle B$는 첫 시행에서 앞면이 보이는 동전을 선택하는 사건이므로,$\displaystyle A \cap B = \left\{ \mathrm{HH} , \mathrm{HTHH} \right\}$이며, 이 사건이 발생할 확률은$\displaystyle \mathrm{P} ( A \cap B ) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{5} + \frac{2}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{66}{625}$이다. 따라서$\displaystyle \mathrm{P} ( B | A ) = \frac{{\mathrm{P} ( A \cap B )}}{\mathrm{P} ( A )} = \frac{11}{19}$이다.