자연계열 I 4번

$\displaystyle f(x)=\sin\left(\frac{\pi x}{6n}\right)$라 하자. 함수 $\displaystyle y = f ( x )$의 그래프는 다음과 같다.

$\displaystyle a , b , c$는 서로 다른 자연수이므로 $\displaystyle 2 \le b \le 6 n - 1$이다.

(i) $\displaystyle 2 \le b \le 2 n$일 경우$\displaystyle a$는 자연수이므로 조건 (2)에 의해 $\displaystyle c < 4 n$이다. 따라서 함수 $\displaystyle y = f ( x )$의 그래프에 의해서 $\displaystyle f ( a ) < f ( b ) < f ( c )$을 만족시킨다. $\displaystyle b$에 대하여 $\displaystyle a$를 $\displaystyle 1$부터 $\displaystyle b - 1$까지 선택할 수 있으므로 세 자연수 $\displaystyle a , b , c$의 순서쌍 $\displaystyle ( a , b , c )$의 개수는 $\displaystyle b - 1$이다.

(ii) $\displaystyle 2 n < b < 3 n$일 경우$\displaystyle y = f ( x )$는 $\displaystyle x = 3 n$에 대해서 대칭이므로 $\displaystyle f ( b ) < f ( c )$를 만족시키기 위해서는 $\displaystyle b < c < 6 n - b$이어야 한다. 또한 $\displaystyle c$가 $\displaystyle b < c < 6 n - b$인 경우 $\displaystyle a$는 $\displaystyle 1$과 $\displaystyle b$ 사이에 존재하고 $\displaystyle f ( a ) < f ( b )$이다. $\displaystyle b$에 대하여 $\displaystyle c$는 $\displaystyle b + 1$부터 $\displaystyle 6 n - b - 1$까지 선택할 수 있으므로 세 자연수 $\displaystyle a , b , c$의 순서쌍 $\displaystyle ( a , b , c )$의 개수는 $\displaystyle 6 n - 2 b - 1$이다.

(iii) $\displaystyle 3 n \le b \le 6 n - 1$일 경우함수 $\displaystyle y = f ( x )$의 그래프로부터 $\displaystyle f ( b ) > f ( c )$이므로 주어진 조건을 만족시키는 순서쌍 $\displaystyle ( a , b , c )$가 존재하지 않는다.

(i), (ii), (iii)에 의해서 주어진 조건을 모두 만족시키는 세 자연수 $\displaystyle a , b , c$의 순서쌍 $\displaystyle ( a , b , c )$의 개수는$\displaystyle \sum_{b=2}^{2n}(b-1)+\sum_{b=2n+1}^{3n-1}(6n-2b-1)=3n^2-3n+1$이다.