자연계열 II 1번

점 $\displaystyle ( 1 , 1 )$을 지나며 기울기가 $\displaystyle m$인 직선의 방정식은 $\displaystyle y = m ( x - 1 ) + 1$이다. 곡선 $\displaystyle y = f ( x )$와 직선 $\displaystyle y = m ( x - 1 ) + 1$이 서로 다른 두 점에서 접할 때, 이 두 점의 $\displaystyle x$좌표를 각각 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$ (단, $\displaystyle \alpha < \beta$)라 하면,$\displaystyle ( x - \alpha )^{2} ( x - \beta )^{2} = x^{4} + 2 a x^{3} - 3 a^{2} x^{2} + 4 a^{4} - 4 a^{3} + 1 - \left\{ m ( x - 1 ) + 1 \right\}$이다. $\displaystyle x^{3} , x^{2} , x$의 계수와 상수항을 비교하면$\displaystyle - 2 ( \alpha + \beta ) = 2 a$, $\displaystyle \alpha^{2} + 4 \alpha \beta + \beta^{2} = - 3 a^{2}$, $\displaystyle - 2 \alpha \beta ( \alpha + \beta ) = - m$, $\displaystyle \alpha^{2} \beta^{2} = 4 a^{4} - 4 a^{3} + m$이므로 $\displaystyle m = 4 a^{3}$이고 $\displaystyle \alpha = - 2 a$, $\displaystyle \beta = a$이다. 직선 $\displaystyle y = 4 a^{3} ( x - 1 ) + 1$과 곡선 $\displaystyle y = f ( x )$로 둘러싸인 도형의 넓이는$\displaystyle \int_{-2a}^a\{(x^4+2ax^3-3a^2x^2+4a^4-4a^3+1)-(4a^3x-4a^3+1)\}\,dx=\Biggl[\frac15x^5+\frac12ax^4-a^2x^3-2a^3x^2+4a^4x\Biggr]_{-2a}^a=\frac{81}{10}a^5$이다.