자연계열 II 3번

(a) 곡선 $\displaystyle y = f ( x )$의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 좌표를 $\displaystyle ( p , f ( p ) )$라 하고, 점 $\displaystyle \mathrm{Q} ( a , b )$라 하자. 곡선 $\displaystyle y = f ( x )$의 모든 점 $\displaystyle \mathrm{X} ( x , f ( x ) )$에 대하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} \le \overline{\mathrm{XQ}}$이다. 함수 $\displaystyle g ( x ) = {\overline{\mathrm{XQ}}}^{2} = ( x - a )^{2} + ( f ( x ) - b )^{2}$는 미분가능한 함수이고, 최솟값은 $\displaystyle g ( p ) = {\overline{\mathrm{PQ}}}^{2}$이다.따라서$\displaystyle g^{\prime} ( p ) = 2 ( p - a ) + 2 ( f ( p ) - b ) f^{\prime} ( p ) = 0$이다.

$\displaystyle p \ne a$이면 $\displaystyle \frac{{f ( p ) - b}}{p - a} \cdot f^{\prime} ( p ) = - 1$이고, 곡선 $\displaystyle y = f ( x )$의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$에서의 접선과 직선 $\displaystyle \mathrm{PQ}$가 수직이다.

$\displaystyle p = a$이면 직선 $\displaystyle \mathrm{PQ}$는 $\displaystyle y$축과 평행하고, 점 $\displaystyle \mathrm{Q} ( a , b )$가 곡선 $\displaystyle y = f ( x )$에 있지 않으므로 $\displaystyle f ( p ) \ne b$이다.따라서 $\displaystyle f^{\prime} ( p ) = 0$이므로 곡선 $\displaystyle y = f ( x )$의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$에서의 접선은 $\displaystyle x$축과 평행하므로, 곡선 $\displaystyle y = f ( x )$의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$에서의 접선과 직선 $\displaystyle \mathrm{PQ}$가 수직이다.

(b) $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}$가 최소일 때 곡선 $\displaystyle y = x^{2}$의 점을 $\displaystyle \mathrm{A} ( a , a^{2} )$, 곡선 $\displaystyle y = - ( x - 6 )^{2}$의 점을 $\displaystyle \mathrm{B} ( b , - ( b - 6 )^{2} )$이라 하자. 그러면 (a)에 의해 다음을 모두 만족시킨다.

조건 ①로부터 $\displaystyle a = - b + 6$이다. $\displaystyle a = b$이면 $\displaystyle a = b = 3$이고 조건 ②를 만족시키지 않으므로 $\displaystyle a \ne b$이다. 그러면 조건 ②로부터$\displaystyle \frac{{a^{2} + ( b - 6 )^{2}}}{a - b} \cdot 2 a = - 1$, $\displaystyle \frac{{a^{2} + ( b - 6 )^{2}}}{a - b} \cdot \left\{ - 2 ( b - 6 ) \right\} = - 1$이다.$\displaystyle 2 a^{3} + a - 3 = ( a - 1 ) ( 2 a^{2} + 2 a + 3 ) = 0$이므로, $\displaystyle a = 1$이고 $\displaystyle b = 5$이다. 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 2 \sqrt{5}$이므로 최솟값은 $\displaystyle 2 \sqrt{5}$이다.