자연계열 II 4번

자연수 $\displaystyle m$에 대하여 $\displaystyle 64^{m-1}\le x<64^m$에서 포물선 $\displaystyle y = \frac{1}{k^{3}} x^{2}$와 직선 $\displaystyle y = 8^{m}$의 교점의 개수는 $\displaystyle 0$ 혹은 $\displaystyle 1$이다. 교점의 개수가 $\displaystyle 1$일 필요충분조건은 $\displaystyle \frac{64^{2m-2}}{k^3}\le8^m<\frac{64^{2m}}{k^3}$이다. 즉$\displaystyle 2^{3m-4}\le k<2^{3m}\quad(1\le k\le2^{300})$ $\displaystyle \cdots$ ①이다. $\displaystyle \sum_{k=1}^{2^{300}}a_k$는 ①을 만족시키는 자연수의 순서쌍 $\displaystyle ( k , m )$의 개수와 같다. 따라서 각 $\displaystyle m$에 대하여 $\displaystyle b_{m}$을 ①을 만족시키는 $\displaystyle k$의 개수라 하면$\displaystyle b_m=n\left(\left\{k\mid1\le k\le2^{300},\ 2^{3m-4}\le k<2^{3m}\right\}\right)=\begin{cases}7&(m=1)\\2^{3m}-2^{3m-4}&(2\le m\le100)\\2^{300}-2^{299}+1&(m=101)\\0&(m>101)\end{cases}$이므로$\displaystyle \sum_{k=1}^{2^{300}}a_k=\sum_{m=1}^{101}b_m=7+\sum_{m=2}^{100}(2^{3m}-2^{3m-4})+2^{300}-2^{299}+1=\frac{11\cdot2^{300}-4}7$이다.