자연계열 II 2번

(ⅰ) $\displaystyle f ( n - 2 ) = f ( n - 1 ) = f ( n ) = 1$일 경우를 생각하자. 그러면 조건 (1)과 (2)를 모두 만족시키지만 조건 (3)을 만족시키지 않는 함수의 개수는 다음과 같다.

• $\displaystyle f ( 1 ) = 0$의 경우 함수의 개수는 $\displaystyle {}_{n-4}\mathrm{C}_2$이다.• $\displaystyle f ( 1 ) = 2 , f ( 2 ) = 0 , f ( 3 ) = 0$의 경우 함수의 개수는 $\displaystyle {}_{n-6}\mathrm{C}_1$이다.• $\displaystyle f ( 1 ) = 2 , f ( 2 ) = 0 , f ( 3 ) = 2 , f ( 4 ) = 0 , f ( 5 ) = 0$의 경우 함수의 개수는 $\displaystyle 1$이다.• $\displaystyle f ( 1 ) = 2 , f ( 2 ) = 2 , f ( 3 ) = 0 , f ( 4 ) = 0 , f ( 5 ) = 0$의 경우 함수의 개수는 $\displaystyle 1$이다.

따라서 이 경우에 문제의 조건을 모두 만족시키는 함수의 개수는 조건 (1)과 (2)를 모두 만족시키는 함수의 개수에서 위 네 가지 경우에 해당하는 함수의 개수를 뺀 것과 같다. 즉$\displaystyle {}_{n-3}\mathrm{C}_3-\left({}_{n-4}\mathrm{C}_2+{}_{n-6}\mathrm{C}_1+1+1\right)=\frac{(n-3)(n-4)(n-8)}6$이다.

(ⅱ) 일반적으로 $\displaystyle 1 \le a < b < c \le n$인 $\displaystyle a , b , c$에서 $\displaystyle f ( a ) = f ( b ) = f ( c ) = 1$일 경우는 $\displaystyle a , b , c$의 선택이 조건 (3)의 부등식의 성립여부에 영향을 주지 않는다. 따라서 주어진 조건을 모두 만족시키는 함수의 개수도 $\displaystyle \frac{{( n - 3 ) ( n - 4 ) ( n - 8 )}}{6}$이다.

따라서 문제의 조건을 모두 만족시키는 함수의 개수는$\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_3\times\frac{(n-3)(n-4)(n-8)}6=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-8)}{36}$이다.