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자연계열 I 3번

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서울시립대 2021학년도 수시 자연계열 I 3번 · mathesis.kr/archive/uos/2021su/jayeon1_3

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[문제 3] (총 105점)

한 변의 길이가 3+22\displaystyle 3 + 2 \sqrt{2}인 정사각형 ABCD와 그 내부에 원 C1\displaystyle C_{1}, 원 C2\displaystyle C_{2}, 직사각형 EBFG가 다음을 모두 만족시키도록 놓여있다.

(1) C1\displaystyle C_{1}은 두 변 AB, AD와 각각 한 점에서만 만난다.

(2) C2\displaystyle C_{2}는 중심이 C1\displaystyle C_{1} 밖에 있고 C1\displaystyle C_{1}, 변 BC, 변 CD와 각각 한 점에서만 만난다.

(3) 점 E는 변 AB에 있고, 점 F는 변 BC에 있다.

(4) 직사각형 EBFG는 C1\displaystyle C_{1}, C2\displaystyle C_{2}와 각각 한 점에서만 만난다.

(5) BF‾<EB‾\displaystyle \overline{\mathrm{BF}} < \overline{\mathrm{EB}}

변 BF의 길이를 x\displaystyle x라 하고 직사각형 EBFG의 넓이를 f(x)\displaystyle f ( x )라 하자.

(a) 함수 f(x)\displaystyle f ( x )를 구하여라. (65점)

(b) 함수 f(x)\displaystyle f ( x )가 미분가능함을 보여라. (40점)

정사각형 ABCD 내부의 두 원 C1, C2와 직사각형 EBFG
해설강의 준비중

서울시립대 2021학년도 수시 자연계열 I 3번 · mathesis.kr/archive/uos/2021su/jayeon1_3

d=3+22\displaystyle d = 3 + 2 \sqrt{2}라 하자.

(a) C1\displaystyle C_{1}과 C2\displaystyle C_{2}의 반지름을 각각 y,z\displaystyle y , z라 하자. AC‾=2y+y+z+2z=2d\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = \sqrt{2} y + y + z + \sqrt{2} z = \sqrt{2} d이므로 y+z=2+2\displaystyle y + z = 2 + \sqrt{2}이다.

BF‾+FC‾=BC‾\displaystyle \overline{\mathrm{BF}} + \overline{\mathrm{FC}} = \overline{\mathrm{BC}}이므로 x+2z=d\displaystyle x + 2 z = d이고 z=d−x2\displaystyle z=\frac{d-x}{2}이다. 따라서 y=2+2−z=1+x2\displaystyle y=2+\sqrt2-z=\frac{1+x}{2}이다.

(i) x<y\displaystyle x < y일 경우y=1+x2\displaystyle y=\frac{1+x}{2}이므로 x<1\displaystyle x < 1이다. C1\displaystyle C_{1}의 중심을 지나고 AD‾\displaystyle \overline{\mathrm{AD}}와 평행한 직선과 점 G\displaystyle \mathrm{G} 사이의 거리를 w\displaystyle w라고 하면w=y2−(y−x)2=(1+x2)2−(1−x2)2=x\displaystyle w=\sqrt{y^2-(y-x)^2}=\sqrt{\left(\frac{1+x}{2}\right)^2-\left(\frac{1-x}{2}\right)^2}=\sqrt x이다. EB‾=d−y−w=d−1+x2−x\displaystyle \overline{\mathrm{EB}}=d-y-w=d-\frac{1+x}{2}-\sqrt x이므로 0<x<1\displaystyle 0 < x < 1이고 f(x)=BF‾⋅EB‾=x(d−1+x2−x)\displaystyle f(x)=\overline{\mathrm{BF}}\cdot\overline{\mathrm{EB}}=x\left(d-\frac{1+x}{2}-\sqrt x\right)이다.

x가 y보다 작은 경우 원 C1의 중심과 점 G 사이 거리 w

(ii) x≥y\displaystyle x \ge y일 경우y=1+x2\displaystyle y=\frac{1+x}{2}이므로 x≥1\displaystyle x \ge 1이다. 또한 EG‾\displaystyle \overline{\mathrm{EG}}가 C1\displaystyle C_{1}에 접하므로 EB‾=d−2y=d−1−x\displaystyle \overline{\mathrm{EB}} = d - 2 y = d - 1 - x이다. 조건 (5)로부터 x<d−1−x\displaystyle x < d - 1 - x이므로 x<1+2\displaystyle x < 1 + \sqrt{2}이다. 따라서 1≤x<1+2\displaystyle 1 \le x < 1 + \sqrt{2}이고 f(x)=BF‾⋅EB‾=x(d−1−x)\displaystyle f ( x ) = \overline{\mathrm{BF}} \cdot \overline{\mathrm{EB}} = x \left( d - 1 - x \right)이다.

x가 y 이상인 경우 원 C1에 접하는 EG

(i)과 (ii)에 의해f(x)={x(3+22−1+x2−x)(0<x<1)x(2+22−x)(1≤x<1+2)\displaystyle f ( x ) = \begin{cases}x \left( 3 + 2 \sqrt{2} - \frac{{1 + x}}{2} - \sqrt{x} \right) & ( 0 < x < 1 ) \\ x \left( 2 + 2 \sqrt{2} - x \right) & ( 1 \leq x < 1 + \sqrt{2} )\end{cases}이다.

(b) 0<x<1\displaystyle 0 < x < 1과 1<x<1+2\displaystyle 1 < x < 1 + \sqrt{2}에서 f(x)\displaystyle f ( x )는 미분가능한 함수의 합과 곱으로 정의되었으므로 각 구간에서 미분가능하다. x=1\displaystyle x = 1에서의 미분가능성을 확인하자.lim⁡h→0−f(1+h)−f(1)h=lim⁡h→0−(1+h){3+22−1+(1+h)2−1+h}−(1+22)h=22lim⁡h→0+f(1+h)−f(1)h=lim⁡h→0+(1+h){2+22−(1+h)}−(1+22)h=22\displaystyle \begin{aligned}\lim_{h\to0^-}\frac{f(1+h)-f(1)}h&=\lim_{h\to0^-}\frac{(1+h)\left\{3+2\sqrt2-\frac{1+(1+h)}2-\sqrt{1+h}\right\}-(1+2\sqrt2)}h=2\sqrt2\\\lim_{h\to0^+}\frac{f(1+h)-f(1)}h&=\lim_{h\to0^+}\frac{(1+h)\{2+2\sqrt2-(1+h)\}-(1+2\sqrt2)}h=2\sqrt2\end{aligned}이다. 따라서 f(x)\displaystyle f ( x )는 x=1\displaystyle x = 1에서 미분가능하고, f(x)\displaystyle f ( x )는 0<x<1+2\displaystyle 0 < x < 1 + \sqrt{2}에서 미분가능하다.

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