자연계열 I (오전) 3번

$\displaystyle ax^2+bx+c=a(x-2020)^2+(4040a+b)(x-2020)+a(2020)^2+b(2020)+c$$\displaystyle b^{\prime}=b+4040a$, $\displaystyle c^{\prime}=c+2020b+4080400a$라 하자.$\displaystyle t=x-2020$라 하고 $\displaystyle p(t)=at^2+b^{\prime}t+c^{\prime}$이라 하면, 닫힌 구간 $\displaystyle [-1,1]$에서 $\displaystyle |p(t)|$의 최댓값이 $\displaystyle 1$이다. 따라서, $\displaystyle -1\leq p(-1)=a-b^{\prime}+c^{\prime}\leq1$, $\displaystyle -1\leq p(1)=a+b^{\prime}+c^{\prime}\leq1$, $\displaystyle -1\leq p(0)=c^{\prime}\leq1$이어야 하므로 $\displaystyle -2\leq2a+2c^{\prime}\leq2$, $\displaystyle -2\leq2b^{\prime}\leq2$이다.그러므로, $\displaystyle -2\leq a\leq2$, $\displaystyle -1\leq b^{\prime}\leq1$, $\displaystyle -1\leq c^{\prime}\leq1$이 닫힌 구간 $\displaystyle [-1,1]$에서 $\displaystyle |p(t)|$의 최댓값이 $\displaystyle 1$이기 위한 필요조건이다.$\displaystyle a$, $\displaystyle b^{\prime}$, $\displaystyle c^{\prime}$가 정수이므로, $\displaystyle a=-2,-1,0,1,2$, $\displaystyle b^{\prime}=-1,0,1$, $\displaystyle c^{\prime}=-1,0,1$이 가능한 모든 경우이다.1. $\displaystyle a=-2$인 경우$\displaystyle b^{\prime}=-1$이면 $\displaystyle p(t)=-2t^2-t+c^{\prime}$은 구간 $\displaystyle [-1,1]$에서 최댓값 $\displaystyle \frac18+c^{\prime}$와 최솟값 $\displaystyle -3+c^{\prime}$를 가지므로 $\displaystyle |p(t)|$의 최댓값이 $\displaystyle 1$일 수 없다. 마찬가지로 $\displaystyle b^{\prime}=1$도 불가능하다.$\displaystyle b^{\prime}=0$이면 $\displaystyle p(t)=-2t^2+1$이 조건을 만족한다.2. $\displaystyle a=-1$인 경우$\displaystyle b^{\prime}=-1$이면 $\displaystyle p(t)=-t^2-t+c^{\prime}$는 구간 $\displaystyle [-1,1]$에서 최댓값 $\displaystyle \frac14+c^{\prime}$와 최솟값 $\displaystyle -2+c^{\prime}$를 가지므로 $\displaystyle |p(t)|$의 최댓값이 $\displaystyle 1$일 수 없다. 마찬가지로 $\displaystyle b^{\prime}=1$도 불가능하다.$\displaystyle b^{\prime}=0$이면 $\displaystyle p(t)=-t^2+1$과 $\displaystyle p(t)=-t^2$이 조건을 만족한다.3. $\displaystyle a=0$인 경우$\displaystyle b^{\prime}=-1$이면 $\displaystyle p(t)=-t$가 조건을 만족한다.$\displaystyle b^{\prime}=0$이면 $\displaystyle p(t)=-1$과 $\displaystyle p(t)=1$이 조건을 만족한다.$\displaystyle b^{\prime}=1$이면 $\displaystyle p(t)=t$가 조건을 만족한다.4. $\displaystyle a=1$ 또는 $\displaystyle a=2$인 경우1, 2의 경우와 마찬가지로, $\displaystyle p(t)=t^2-1$, $\displaystyle p(t)=2t^2-1$, $\displaystyle p(t)=t^2$이 각각 조건을 만족한다.따라서 $\displaystyle p(t)=-2t^2+1,\ -t^2+1,\ -t^2,\ -t,\ -1,\ 1,\ t,\ t^2-1,\ t^2,\ 2t^2-1$로 10개이고, 주어진 조건을 만족하는 함수 $\displaystyle f(x)$는 10개다.