자연계열 II (오후) 4번

[문제 4-1]$\displaystyle S_n$의 원소 중에서 $\displaystyle D$의 둘레 및 내부와 만나는 모든 정사각형의 개수를 $\displaystyle h(n)$이라 하자.사각형 $\displaystyle D$의 넓이를 $\displaystyle A$라 하면, $\displaystyle f(n)$과 $\displaystyle h(n)$의 정의에 따라식1 : $\displaystyle 4^{-n}f(n)\leq A\leq4^{-n}h(n)$사각형 $\displaystyle D$의 네 변의 길이는 $\displaystyle \frac{32}{15}$, $\displaystyle \frac{17}{15}$, $\displaystyle 1$, $\displaystyle \frac{17}{15}\sqrt2$이다.$\displaystyle 2^{-n}(h(n)-f(n))\leq\frac{32}{15}+\frac{17}{15}+1+\frac{17\sqrt2}{15}\times\frac1{\sqrt2}+4<10$식2 : $\displaystyle 4^{-n}(h(n)-f(n))<10\times2^{-n}$식1, 식2와 수열의 극한에 대한 성질에 의해 $\displaystyle 0\leq\lim_{n\to\infty}\{A-4^{-n}f(n)\}\leq\lim_{n\to\infty}\frac{10}{2^n}=0$이다.$\displaystyle \lim_{n\to\infty}4^{-n}f(n)=A$이다.$\displaystyle b_n=\alpha n+\ln f(n)=\ln\{f(n)e^{\alpha n}\}$이 수렴하려면 $\displaystyle f(n)e^{\alpha n}$은 $\displaystyle 0$이 아닌 양의 실수 $\displaystyle m$으로 수렴해야한다.$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{4^{-n}f(n)}{f(n)e^{\alpha n}}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac1{4e^\alpha}\right)^n=\frac Am\left(\frac Am\neq0\right)$이므로 $\displaystyle \frac Am=1$이고, $\displaystyle 4e^\alpha=1$, $\displaystyle \alpha=-\ln4$이다.이때 수열 $\displaystyle \{b_n\}$의 극한값은 $\displaystyle \ln A$이고 $\displaystyle A=\frac{799}{450}$이므로, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\ln\frac{799}{450}$이다.

[문제 4-2]사각형 $\displaystyle D$의 네 변의 길이는 $\displaystyle \frac{32}{15}$, $\displaystyle \frac{17}{15}$, $\displaystyle 1$, $\displaystyle \frac{17}{15}\sqrt2$이다.$\displaystyle L_1=1+\frac{32}{15}+\frac{17}{15}=\frac{64}{15}$, $\displaystyle L_2=\frac{17}{15}\sqrt2$, $\displaystyle L=L_1+\frac{L_2}{\sqrt2}=\frac{81}{15}$라고 하자.

사각형 $\displaystyle D$의 $\displaystyle x$축 또는 $\displaystyle y$축과 평행한 세 변과 만나는 $\displaystyle S_n$의 원소의 개수를 $\displaystyle g_1(n)$, 비스듬한 변과 만나는 $\displaystyle S_n$의 원소의 개수를 $\displaystyle g_2(n)$이라 하면,Comment. $\displaystyle g_1(n),g_2(n)$도 해당 변과 두 점 이상에서 만나는 정사각형을 센다. 특히 비스듬한 변과 꼭짓점 한 개에서만 만나는 정사각형은 세지 않는다.$\displaystyle L_1\leq2^{-n}(g_1(n)+2)$, $\displaystyle \frac{L_2}{\sqrt2}\leq2^{-n}g_2(n)$이고$\displaystyle L_1+\frac{L_2}{\sqrt2}-2^{-n+1}\leq2^{-n}(g_1(n)+g_2(n))$을 만족한다.$\displaystyle 2^{-n}(g_1(n)-4)\leq L_1$, $\displaystyle 2^{-n}(g_2(n)-2)\leq\frac{L_2}{\sqrt2}$이므로 $\displaystyle 2^{-n}(g_1(n)+g_2(n))\leq L_1+\frac{L_2}{\sqrt2}+6\times2^{-n}$이다.수열의 극한의 성질에 의해 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}2^{-n}(g_1(n)+g_2(n))=L_1+\frac{L_2}{\sqrt2}=L$그리고 $\displaystyle g(n)$, $\displaystyle g_1(n)$, $\displaystyle g_2(n)$의 정의에 의해 $\displaystyle g_1(n)+g_2(n)-4\leq g(n)\leq g_1(n)+g_2(n)$이고$\displaystyle 2^{-n}(g_1(n)+g_2(n)-4)\leq2^{-n}g(n)\leq2^{-n}(g_1(n)+g_2(n))$이다.수열의 극한의 성질에 의해 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}2^{-n}g(n)=\lim_{n\to\infty}2^{-n}(g_1(n)+g_2(n))=L$이다.$\displaystyle c_n=\beta n+\ln g(n)=\ln\{g(n)e^{\beta n}\}$이 수렴하려면 $\displaystyle g(n)e^{\beta n}$은 $\displaystyle 0$이 아닌 양의 실수 $\displaystyle c$로 수렴해야한다.$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{2^{-n}g(n)}{g(n)e^{\beta n}}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac1{2e^\beta}\right)^n=\frac Lc\left(\frac Lc\neq0\right)$이므로 $\displaystyle \frac Lc=1$이고, $\displaystyle 2e^\beta=1$, $\displaystyle \beta=-\ln2$이다.이때 수열 $\displaystyle \{c_n\}$의 극한값은 $\displaystyle \ln L$이므로, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_n=\ln\frac{81}{15}$이다.