자연계열 I (오전) 4번

[문제 4-1]표로 작성하면 다음과 같다.

따라서 답은 $\displaystyle \frac{12}{19}$이다.

[문제 4-2]1. 소인수의 개수가 $\displaystyle 1$일 때, 즉 $\displaystyle n$이 소수의 거듭제곱일 때, $\displaystyle f(n)=g(n)$은 항상 성립한다.소수의 제곱이면서 $\displaystyle 2021$ 이하인 수는 $\displaystyle 2^2$, $\displaystyle 3^2$, $\displaystyle 5^2$, $\displaystyle 7^2$, $\displaystyle 11^2$, $\displaystyle 13^2$, $\displaystyle 17^2$, $\displaystyle 19^2$, $\displaystyle 23^2$, $\displaystyle 29^2$, $\displaystyle 31^2$, $\displaystyle 37^2$, $\displaystyle 41^2$, $\displaystyle 43^2$으로 모두 $\displaystyle 14$개다.소수의 세제곱이면서 $\displaystyle 2021$ 이하인 수는 $\displaystyle 2^3$, $\displaystyle 3^3$, $\displaystyle 5^3$, $\displaystyle 7^3$, $\displaystyle 11^3$으로 모두 $\displaystyle 5$개다.소수의 네제곱이면서 $\displaystyle 2021$ 이하인 수는 $\displaystyle 2^4$, $\displaystyle 3^4$, $\displaystyle 5^4$으로 모두 $\displaystyle 3$개다.소수의 다섯제곱 또는 여섯제곱이면서 $\displaystyle 2021$ 이하인 수는 $\displaystyle 2$와 $\displaystyle 3$의 거듭제곱으로 $\displaystyle 2+2=4$개다.소수의 일곱제곱, 여덟제곱, 아홉제곱, 열제곱이면서 $\displaystyle 2021$ 이하인 수는 $\displaystyle 2$의 거듭제곱으로 $\displaystyle 1+1+1+1=4$개다.따라서 $\displaystyle f(n)=g(n)$을 만족하는 $\displaystyle n$의 개수는 $\displaystyle 14+5+3+4+4=30$이다.

2. 소인수의 개수가 $\displaystyle 2$일 때, $\displaystyle f(n)=g(n)$이 성립하려면, $\displaystyle n=p_1^{n_1}p_2^{n_2}\ (p_1<p_2)$일 때 $\displaystyle n_1+n_2=n_1n_2$을 만족해야 한다. 따라서, $\displaystyle n_1=n_2=2$이다.따라서 $\displaystyle n=p_1^2p_2^2$의 형태로 서로 다른 소수의 곱의 제곱수이다.$\displaystyle p_1p_2\leq\sqrt{2021}<45$이어야 하므로 $\displaystyle p_1=2,3,5$이다. $\displaystyle (p_1,p_2)$의 순서쌍을 구하면$\displaystyle (2,3),\ (2,5),\ (2,7),\ (2,11),\ (2,13),\ (2,17),\ (2,19),\ (3,5),\ (3,7),\ (3,11),\ (3,13),\ (5,7)$로 $\displaystyle 12$개이다.

3. 소인수의 개수가 $\displaystyle 3$일 때, $\displaystyle f(n)=g(n)$이 성립하려면 $\displaystyle n=p_1^{n_1}p_2^{n_2}p_3^{n_3}\ (p_1<p_2<p_3)$일 때 $\displaystyle n_1+n_2+n_3=n_1n_2n_3$을 만족하여야 하므로 $\displaystyle n_1$, $\displaystyle n_2$, $\displaystyle n_3$은 $\displaystyle 1$, $\displaystyle 2$, $\displaystyle 3$의 순열로 총 $\displaystyle 6$개다.그런데 $\displaystyle p_1\geq3$인 경우 $\displaystyle n\geq3^35^27^1=4725$이므로 $\displaystyle p_1=2$만 가능하다.1) $\displaystyle n_1=1$인 경우$\displaystyle 2^1p_2^5<2^1p_2^{n_2}p_3^{n_3}=n\leq2021$을 만족하는 $\displaystyle p_2$는 $\displaystyle 3$뿐이다. $\displaystyle n_2=2$, $\displaystyle n_3=3$이면 $\displaystyle n\geq2^13^25^3=2250$이고 $\displaystyle n_2=3$, $\displaystyle n_3=2$이면 $\displaystyle n=2^13^35^2=1350$이다.$\displaystyle p_3\geq7$이면 $\displaystyle n\geq2^13^37^2=2646$따라서 $\displaystyle 2021$이하인 수는 $\displaystyle 1350$으로 $\displaystyle 1$개이다.2) $\displaystyle n_1=2$인 경우$\displaystyle 2^2p_2^4<2^2p_2^{n_2}p_3^{n_3}=n\leq2021$을 만족하는 $\displaystyle p_2$는 $\displaystyle 3$뿐이다. $\displaystyle n_2=1$, $\displaystyle n_3=3$이면 $\displaystyle n=2^23^15^3=1500$$\displaystyle p_3\geq7$이면 $\displaystyle n\geq2^23^17^3=4116$$\displaystyle n_2=3$, $\displaystyle n_3=1$이면 $\displaystyle n=2^23^3p_3$이므로 $\displaystyle p_3=5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17$이 가능하다.따라서 $\displaystyle 2021$이하인 수는 $\displaystyle 1500$, $\displaystyle 2^23^35$, $\displaystyle 2^23^37$, $\displaystyle 2^23^311$, $\displaystyle 2^23^313$, $\displaystyle 2^23^317$으로 $\displaystyle 6$개이다.3) $\displaystyle n_1=3$인 경우$\displaystyle 2^3p_2^3<2^3p_2^{n_2}p_3^{n_3}=n\leq2021$을 만족하는 $\displaystyle p_2$는 $\displaystyle 3$과 $\displaystyle 5$가 있다.① $\displaystyle p_2=3$일 때, $\displaystyle n_2=1$, $\displaystyle n_3=2$이면 $\displaystyle n=2^33^1p_3^2$이므로 $\displaystyle p_3=5,\ 7$이 가능하다.　 $\displaystyle n_2=2$, $\displaystyle n_3=1$이면 $\displaystyle n=2^33^2p_3$이므로 $\displaystyle p_3=5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23$이 가능하다. (총 $\displaystyle 9$개)② $\displaystyle p_2=5$일 때, $\displaystyle n_2=1$, $\displaystyle n_3=2$이면 $\displaystyle n=2^35^1p_3^2$이므로 $\displaystyle p_3=7$이 가능하다.　 $\displaystyle n_2=2$, $\displaystyle n_3=1$이면 $\displaystyle n=2^35^2p_3$이므로 $\displaystyle p_3=7$만 가능하다. (총 $\displaystyle 2$개)따라서 1), 2), 3)에 의해 $\displaystyle f(n)=g(n)$을 만족하는 $\displaystyle n$의 개수는 $\displaystyle 1+6+11=18$개다.4. 소인수의 개수가 $\displaystyle 4$일 때, $\displaystyle f(n)=g(n)$을 만족하려면 $\displaystyle n=p_1^{n_1}p_2^{n_2}p_3^{n_3}p_4^{n_4}\ (p_1<p_2<p_3<p_4)$일 때, $\displaystyle n_1+n_2+n_3+n_4=n_1n_2n_3n_4$이어야 하므로 $\displaystyle n_1$, $\displaystyle n_2$, $\displaystyle n_3$, $\displaystyle n_4$는 $\displaystyle 1$, $\displaystyle 1$, $\displaystyle 2$, $\displaystyle 4$의 순열이다. 그러나, 이 경우 $\displaystyle n\geq2^43^25^17^1=5040$이므로 불가능하다.

5. 소인수의 개수가 $\displaystyle 5$ 이상이면 $\displaystyle n\geq2^13^15^17^111^1=2310$이므로 불가능하다.

따라서 $\displaystyle f(n)=g(n)$을 만족시키는 $\displaystyle 2021$이하의 수는 소수 $\displaystyle 306$개와 $\displaystyle 30+12+18=60$개이므로 $\displaystyle 366$개이므로, 답은 $\displaystyle \frac{306}{306+60}=\frac{306}{366}=\frac{51}{61}$이다.