자연계열 II (오후) 1번

$\displaystyle \left(x-\frac a2\right)^2+\left(y-\frac b2\right)^2=\frac{a^2+b^2-24}4$Correction. 완전제곱식은 $\displaystyle \left(x+\frac a2\right)^2+\left(y+\frac b2\right)^2=\frac{a^2+b^2-24}{4}$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이차방정식이 원을 나타내려면 $\displaystyle \frac{a^2+b^2-24}4>0$, $\displaystyle a^2+b^2>24$를 만족해야 한다.$\displaystyle a=1$일 때, $\displaystyle b=5,6$$\displaystyle a=2$일 때, $\displaystyle b=5,6$$\displaystyle a=3$일 때, $\displaystyle b=4,5,6$$\displaystyle a=4$일 때, $\displaystyle b=3,4,5,6$$\displaystyle a=5$일 때, $\displaystyle b=1,2,3,4,5,6$$\displaystyle a=6$일 때, $\displaystyle b=1,2,3,4,5,6$$\displaystyle (a,b)$의 순서쌍의 개수는 총 $\displaystyle 23$가지이다.이때 $\displaystyle c$는 모든 수가 가능하므로 전체 경우의 수는 $\displaystyle 23\times6=138$이다.직선이 이 원의 넓이를 이등분하는 경우는 직선이 원의 중심 $\displaystyle \left(-\frac a2,-\frac b2\right)$를 지나야 한다.따라서, $\displaystyle c=\frac a2+b$을 만족해야 하고, 이를 만족하면서 동시에 $\displaystyle a^2+b^2>24$를 만족하는 경우는$\displaystyle a=2$일 때, $\displaystyle (b,c)$가 $\displaystyle (5,6)$$\displaystyle a=4$일 때, $\displaystyle (b,c)$가 $\displaystyle (3,5),(4,6)$$\displaystyle a=6$일 때, $\displaystyle (b,c)$가 $\displaystyle (1,4),(2,5),(3,6)$으로 총 $\displaystyle 6$가지이다.따라서 구하는 확률은 $\displaystyle \frac6{138}=\frac1{23}$가 된다.