자연계열 II (오후) 2번

$\displaystyle x_{1}=r$이 되는 양의 정수해의 개수는 $\displaystyle x_{2}+x_{3}+\cdots+x_{k}=n-r$를 만족하는 양의 정수해의 개수이다.$\displaystyle x_{2}^{\prime}=x_{2}-1$, $\displaystyle x_{3}^{\prime}=x_{3}-1$, $\displaystyle \cdots$, $\displaystyle x_{k}^{\prime}=x_{k}-1$이라 하면$\displaystyle x_{2}^{\prime}+x_{3}^{\prime}+\cdots+x_{k}^{\prime}=n-r-k+1$이고 이 방정식의 해의 개수는 $\displaystyle {}_{k-1}\mathrm{H}_{n-r-k+1}$이다.따라서, $\displaystyle x_{1}$ 중 $\displaystyle r$이 나오는 횟수는 $\displaystyle {}_{k-1}\mathrm{H}_{n-r-k+1}$이다.이는 $\displaystyle x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{k}$의 경우에도 마찬가지이므로 자연수 $\displaystyle r$이 나오는 횟수는 다음과 같다.$\displaystyle k\times{}_{k-1}\mathrm{H}_{n-r-k+1}=k\times{}_{n-r-1}\mathrm{C}_{n-r-k+1}=k\times{}_{n-r-1}\mathrm{C}_{k-2}=\frac{k\times(n-r-1)!}{(k-2)!(n-r-k+1)!}$