자연계열 II (오후) 3번

[문제 3-1]꼭지점 $\displaystyle \mathrm A$에서 밑변 $\displaystyle \mathrm{BC}$에 수선의 발을 내릴 수 없으면 사각형이 내접할 수 없으므로 일반성을 잃지 않고 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$와 사각형 $\displaystyle \mathrm{PQRS}$가 다음 그림과 같이 내접한다고 가정하자. (각$\displaystyle \mathrm{ABC}$나 $\displaystyle \mathrm{ACB}$가 직각인 경우도 포함하여 생각한다.)

삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 밑변의 길이를 $\displaystyle a$, 높이를 $\displaystyle h$라 하자.그림과 같이 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$와 삼각형 $\displaystyle \mathrm{APS}$는 닮음이므로, 닮음비를 $\displaystyle 1:t$라고 하자. (단, $\displaystyle 0<t<1$)이때 닮음에 의해 사각형 $\displaystyle \mathrm{PQRS}$의 가로의 길이는 $\displaystyle ta$, 세로의 길이는 $\displaystyle (1-t)h$가 된다.사각형$\displaystyle \mathrm{PQRS}$의 넓이는 $\displaystyle S=S(t)=ta\times(1-t)h=t(1-t)ah$이고 $\displaystyle t=\frac12$에서 최대값 $\displaystyle \frac14ah$를 갖는다. 이 때 가로의 길이와 세로의 길이는 각각 $\displaystyle \frac a2$, $\displaystyle \frac h2$이다.따라서 최대가 되는 직사각형의 넓이는 삼각형 넓이의 $\displaystyle \frac12$이므로 삼각형의 넓이는 $\displaystyle 43\times2=86$가 된다.

[문제 3-2]일반성을 잃지 않고 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$와 사각형 $\displaystyle \mathrm{PQRS}$, $\displaystyle \mathrm P^{\prime}\mathrm Q^{\prime}\mathrm R^{\prime}\mathrm S^{\prime}$가 다음 그림과 같이 내접한다고 가정할 수 있다.

삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 밑변의 길이를 $\displaystyle a$, 높이를 $\displaystyle h$라 하자.그림과 같이 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$와 삼각형 $\displaystyle \mathrm{APS}$는 닮음이므로, 닮음비를 $\displaystyle 1:t$라고 하자. (단, $\displaystyle 0<t<1$)이때 닮음에 의해 사각형$\displaystyle \mathrm{PQRS}$의 가로의 길이는 $\displaystyle ta$, 세로의 길이는 $\displaystyle (1-t)h$가 된다.사각형 $\displaystyle \mathrm P^{\prime}\mathrm Q^{\prime}\mathrm R^{\prime}\mathrm S^{\prime}$는 그림과 같이 삼각형 $\displaystyle \mathrm{APS}$에 내접해야 한다. 이때 사각형 $\displaystyle \mathrm P^{\prime}\mathrm Q^{\prime}\mathrm R^{\prime}\mathrm S^{\prime}$의 넓이가 최대가 되도록 하면, 그 넓이는 [문제 3-1]에 의해 $\displaystyle \frac12\left(\frac{ta\times th}2\right)=\frac{aht^2}4$이다.Caution. 한 가지 모양으로 도형을 그려 풀 때는, 풀이에 사용한 점의 위치나 각의 크기 관계가 문제의 조건에서 반드시 성립하는지 확인해야 한다: 둘째 직사각형은 첫째 직사각형의 위쪽뿐 아니라 양옆의 삼각형 안에도 놓을 수 있다. 대학 풀이의 표기에서 양옆 두 삼각형의 넓이 합은 $\displaystyle \frac{ah(1-t)^2}{2}$이다. (3-1)에 의해 한쪽에 놓인 둘째 직사각형의 넓이는 그 절반 이하이다. 따라서 두 직사각형의 넓이 합 $\displaystyle S$는$\displaystyle S\le ah\left(t(1-t)+\frac{(1-t)^2}{4}\right)=ah\left(\frac13-\frac34\left(t-\frac13\right)^2\right)\le\frac{ah}{3}$을 만족한다. 옆에 놓는 경우까지 고려해도 대학이 구한 최댓값은 그대로 성립한다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 두 사각형의 넓이의 합은 $\displaystyle S=S(t)=ah\,t(1-t)+\frac{aht^2}4=ah\left(t-\frac34t^2\right)$이고 $\displaystyle t=\frac23$일 때 최대값 $\displaystyle \frac{ah}3$를 갖는다. 이 때, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$에서 사각형 $\displaystyle \mathrm{PQRS}$와 사각형 $\displaystyle \mathrm P^{\prime}\mathrm Q^{\prime}\mathrm R^{\prime}\mathrm S^{\prime}$를 제외한 부분의 넓이는 $\displaystyle \frac{ah}2-\frac{ah}3=\frac{ah}6=47$이므로 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{ah}2=\frac{6\times47}2=141$이다.