자연계열 2번

$\displaystyle f(x)=kx^3\;(1\le x\le2)$가 확률밀도함수이므로 제시문 (ㄱ)의 성질로부터 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프와 $\displaystyle x$축 및 두 직선 $\displaystyle x=1,\;x=2$로 둘러싸인 도형의 넓이가 $\displaystyle 1$이다.이 도형의 넓이는 정적분 $\displaystyle \int_1^2kx^3dx$와 같으므로$\displaystyle \int_1^2kx^3dx=\frac k4(2^4-1^4)=\frac{15}4k=1$이다. 따라서 $\displaystyle k=\frac4{15}$이다.

한편 $\displaystyle Y=X^2$이므로$\displaystyle \mathrm P(1\le Y\le2)=\mathrm P(1\le X^2\le2)=\mathrm P(1\le X\le\sqrt2)$이고, 확률 $\displaystyle \mathrm P(1\le X\le\sqrt2)$은 함수 $\displaystyle y=\frac4{15}x^3$의 그래프와 $\displaystyle x$축 및 두 직선 $\displaystyle x=1,\;x=\sqrt2$로 둘러싸인 도형의 넓이이므로 $\displaystyle \int_1^{\sqrt2}\frac4{15}x^3dx=\frac15$이다. 따라서$\displaystyle \mathrm P(1\le Y\le2)=\mathrm P(1\le X^2\le2)=\mathrm P(1\le X\le\sqrt2)=\int_1^{\sqrt2}\frac4{15}x^3dx=\frac15$이다.

제시문 (ㄷ)에 의해 $\displaystyle 1\le b\le4$인 $\displaystyle b$에 대하여$\displaystyle \int_1^bg(y)dy=\mathrm P(1\le Y\le b)$이다. 그런데 $\displaystyle \mathrm P(1\le Y\le b)=\mathrm P(1\le X\le\sqrt b)$이고 확률 $\displaystyle \mathrm P(1\le X\le\sqrt b)$은 함수 $\displaystyle y=\frac4{15}x^3$의 그래프와 $\displaystyle x$축 및 두 직선 $\displaystyle x=1,\;x=\sqrt b$와 둘러싸인 도형의 넓이므로 $\displaystyle \int_1^{\sqrt b}\frac4{15}x^3dx=\frac1{15}(b^2-1)$이다. 즉, $\displaystyle \int_1^bg(y)dy=\frac1{15}(b^2-1)$이다. 따라서 $\displaystyle 1\le x\le4$인 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle \int_1^xg(y)dy=\frac1{15}(x^2-1)$이다. 그런데 함수 $\displaystyle g(y)$가 구간 $\displaystyle [1,4]$에서 연속이므로 제시문 (ㄹ)에 의해 $\displaystyle 1<x<4$인 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle g(x)=\frac d{dx}\int_1^xg(y)dy$이다.

그러므로 $\displaystyle 1<x<4$인 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle g(x)=\frac d{dx}\int_1^xg(y)dy=\frac d{dx}\frac1{15}(x^2-1)=\frac2{15}x$이다.따라서 $\displaystyle g(3)=\frac25$이다.