의예과 4번

곡선 $\displaystyle y=f(x)$, 곡선 $\displaystyle y=g(x)$에 동시에 접하는 직선을 $\displaystyle l$, 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와의 교점을 $\displaystyle \left(p,\frac1p\right)$, 곡선 $\displaystyle y=g(x)$와의 교점을 $\displaystyle \left(q,\frac1{q+a}-b\right)$라고 하면 직선 $\displaystyle l$위의 점 $\displaystyle (x,y)$는 다음 두 식을 모두 만족하여야 한다.$\displaystyle y=-\frac1{p^2}x+\frac2p,\quad y=-\frac1{(q+a)^2}x+\frac q{(q+a)^2}+\frac1{q+a}-b$따라서$\displaystyle p^2=(q+a)^2,\;\frac2p=\frac q{(q+a)^2}+\frac1{q+a}-b,\;\cdots\text{①}$$\displaystyle p<0$이고 $\displaystyle q>-a$이므로 ①의 첫 번째 식에서 $\displaystyle q+a=-p$이 되고 두 번째 식에 대입하면 다음의 방정식을 얻을 수 있다.$\displaystyle \frac a{p^2}+\frac4p+b=0\quad\Rightarrow\quad h(p)=bp^2+4p+a=0\;(\text{단, }p<0)$그러므로 방정식 $\displaystyle h(x)=0$이 음수인 해를 한 개 이상 가져야 한다.

I) $\displaystyle b=0$인 경우$\displaystyle h(x)=4x+a$가 되어 $\displaystyle a>0$이면 방정식 $\displaystyle h(x)=0$은 음수인 해를 갖는다.II) $\displaystyle b\ne0$인 경우$\displaystyle h(x)=b\left(x^2+\frac4bx+\frac ab\right)$이다. 따라서 $\displaystyle \frac ab<0$이면 방정식 $\displaystyle h(x)=0$은 양수와 음수인 실근을 각각 하나씩 갖는다.$\displaystyle \frac ab\ge0$이면 이차 방정식의 판별식과 근과 계수의 관계로부터 방정식 $\displaystyle h(x)=0$은 $\displaystyle 4-ab\ge0$이고 $\displaystyle -\frac4b<0$일 때 음수의 실근을 갖는다.

I), II)으로부터 영역 $\displaystyle D$는 $\displaystyle b>0$이면 $\displaystyle ab\le4$이고 $\displaystyle b\le0$이면 $\displaystyle a>0$이다. 이를 좌표평면에 나타내면 다음과 같다.

점 $\displaystyle \mathrm R$이 영역 $\displaystyle D$에 속하지 않으므로, 다음이 성립한다.$\displaystyle xy>4\quad(x>0)$그리고 타원의 정의로부터 점 $\displaystyle \mathrm R$은 장축의 길이가 $\displaystyle M$이고 두 초점이 각각 $\displaystyle \mathrm P,\mathrm Q$인 타원 위에 있다. 따라서$\displaystyle \frac{4x^2}{M^2}+\frac{4y^2}{M^2-48}=1\;(\text{단, }M^2>48)$도 만족한다.

위의 그림으로부터 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{PR}}$의 길이와 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}}$의 길이의 합 $\displaystyle M$이 갖는 범위는 다음의 연립 방정식이 서로 다른 두 교점을 갖게 하는 범위와 같다.$\displaystyle \frac{4x^2}{M^2}+\frac{4y^2}{M^2-48}=1,\quad y=\frac4x\quad(\text{단, }x,y>0,\;M^2>48)$

따라서$\displaystyle \frac{4x^2}{M^2}+\frac{4^3}{(M^2-48)x^2}=1$$\displaystyle \Rightarrow\quad4(M^2-48)t^2-M^2(M^2-48)t+4^3M^2=0\quad(\text{단, }t=x^2)$위의 방정식이 다른 두 개의 양의 실근을 가져야 하므로, 2차방정식의 판별식과 근과 계수의 관계로부터 다음을 얻을 수 있다.$\displaystyle M^4-48M^2-4^5>0\quad\Rightarrow\quad M^2>64$따라서 $\displaystyle M$의 값의 범위는 다음과 같다.$\displaystyle M>8.$