생활과학·미디어 3번

제시문 (ㄱ)의 함수 $\displaystyle f(x)$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 다음과 같다.$\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-10x+3=(3x-1)(x-3)$

따라서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$인 $\displaystyle x$의 값은 $\displaystyle x=\frac13,\;x=3$이다.

함수 $\displaystyle f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c}x&\cdots&\frac13&\cdots&3&\cdots\\\hline f^{\prime}(x)&+&0&-&0&+\\\hline f(x)&\nearrow&\frac{175}{27}&\searrow&-3&\nearrow\end{array}$

함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=3$에서 극소이고 극솟값은 $\displaystyle f(3)=-3$이다.따라서 $\displaystyle \alpha=3,\;m=-3$이다.

논제 1에 의해서 $\displaystyle f(x)-m=f(x)-f(3)=x^3-5x^2+3x+9=(x-3)^2(x+1)$이다. 따라서 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 직선 $\displaystyle y=f(3)$의 교점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle x=-1,\;x=3$이다.구간 $\displaystyle [-1,3]$에서 $\displaystyle f(x)\ge m$이므로 구하는 넓이는$\displaystyle \int_{-1}^3(x^3-5x^2+3x+9)dx.$

$\displaystyle \int_{-1}^3(x^3-5x^2+3x+9)dx=\Biggl[\frac14x^4-\frac53x^3+\frac32x^2+9x\Biggr]_{-1}^3=\frac{64}3$