의예과 1번

확률변수 $\displaystyle X$는 두 번의 시행에서 $\displaystyle 3$의 배수의 눈이 나온 횟수의 합이므로 확률변수 $\displaystyle X$가 가지는 값은 $\displaystyle 0,1,2,\cdots,n$이다. $\displaystyle 0\le k\le n$인 정수 $\displaystyle k$와 $\displaystyle 0\le i\le k$인 정수 $\displaystyle i$에 대하여 첫 번째 시행에서 $\displaystyle 3$의 배수의 눈이 $\displaystyle i$번, 두 번째 시행에서 $\displaystyle 3$의 배수의 눈이 $\displaystyle (n-i)$번 중 $\displaystyle (k-i)$번 나오면 $\displaystyle X$의 값은 $\displaystyle k$이고 그 확률은$\displaystyle \begin{aligned}&{}_n\mathrm C_i\left(\frac13\right)^i\left(\frac23\right)^{n-i}\times{}_{n-i}\mathrm C_{k-i}\left(\frac13\right)^{k-i}\left(\frac23\right)^{n-k}\\&=\frac{n!}{i!(n-i)!}\left(\frac13\right)^i\left(\frac23\right)^{n-i}\frac{(n-i)!}{(k-i)!(n-k)!}\left(\frac13\right)^{k-i}\left(\frac23\right)^{n-k}\\&=\frac{n!}{k!(n-k)!}\left(\frac49\right)^n\left(\frac12\right)^k\frac{k!}{i!(k-i)!}\left(\frac32\right)^i={}_n\mathrm C_k\left(\frac49\right)^n\left(\frac12\right)^k\times{}_k\mathrm C_i\left(\frac32\right)^i\end{aligned}$이다.

따라서 $\displaystyle \mathrm P(X=k)$는$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm P(X=k)&=\sum_{i=0}^k{}_n\mathrm C_k\left(\frac49\right)^n\left(\frac12\right)^k\times{}_k\mathrm C_i\left(\frac32\right)^i\\&={}_n\mathrm C_k\left(\frac49\right)^n\left(\frac12\right)^k\sum_{i=0}^k{}_k\mathrm C_i\left(\frac32\right)^i\\&={}_n\mathrm C_k\left(\frac49\right)^n\left(\frac12\right)^k\left(1+\frac32\right)^k\\&={}_n\mathrm C_k\left(\frac54\right)^k\left(\frac49\right)^n\qquad(k=0,1,2,\cdots,n)\end{aligned}$이다.

그러므로 $\displaystyle \sum_{k=0}^na_k$는$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=0}^na_k&=\sum_{k=0}^n2^k\mathrm P(X=k)=\sum_{k=0}^n2^k{}_n\mathrm C_k\left(\frac54\right)^k\left(\frac49\right)^n\\&=\left(\frac49\right)^n\sum_{k=0}^n{}_n\mathrm C_k\left(\frac52\right)^k=\left(\frac49\right)^n\left(1+\frac52\right)^n=\left(\frac{14}9\right)^n\end{aligned}$이다.