자연계열 3번

우선 $\displaystyle b\ne0$이므로 $\displaystyle \mathrm P\ne\mathrm Q$이고 $\displaystyle \mathrm Q\ne\mathrm R$이다. 그러므로 $\displaystyle \mathrm P=\mathrm R\;(a+b=0)$인 경우와 $\displaystyle \mathrm P\ne\mathrm R\;(a+b\ne0)$인 경우로 나누어서 생각한다.1) $\displaystyle a+b\ne0$인 경우제시문 (ㄴ)의 세 점 $\displaystyle \mathrm P,\mathrm Q,\mathrm R$을 지나는 원은 삼각형 $\displaystyle \triangle\mathrm{PQR}$의 외접원이다. 따라서 원의 중심은 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}$의 수직이등분선과 $\displaystyle \overline{\mathrm{PR}}$의 수직이등분선의 교점이다. 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}$의 수직이등분선은 $\displaystyle a\ne0$인 경우 $\displaystyle y=-\frac ab\left(x-\frac a2\right)+\frac b2$, $\displaystyle a=0$인 경우 $\displaystyle y=\frac b2$이다. 즉 $\displaystyle y=-\frac ab\left(x-\frac a2\right)+\frac b2$이다. 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{PR}}$의 수직이등분선이 $\displaystyle x=\frac{a+b}2$이므로 세 점을 지나는 원의 중심은 $\displaystyle \left(\frac{a+b}2,-\frac{a-b}2\right)$이다. 외접원의 반지름이 $\displaystyle 1$이므로 실수 $\displaystyle a,b$가 만족하는 식은$\displaystyle \left(\frac{a+b}2\right)^2+\left(\frac{a-b}2\right)^2=1.$즉,$\displaystyle a^2+b^2=2\;(\text{단, }a+b\ne0,\;b\ne0).$

2) $\displaystyle a+b=0$인 경우반지름이 $\displaystyle 1$인 원이 좌표평면 위의 두 점을 지나기 위해서는 두 점 사이의 거리가 $\displaystyle 2$이하면 된다. 따라서 $\displaystyle a$의 범위는 다음과 같다.$\displaystyle |\overline{\mathrm{PQ}}|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{a^2+(-a)^2}=\sqrt2|a|\le2.\;(*)$그러므로 제시문 (ㄴ)의 조건 i)와 부등식 (*)에 의해$\displaystyle a+b=0\quad(-\sqrt2\le a<0,\;0<a\le\sqrt2)$

1), 2)의 경우에 의해서 집합 $\displaystyle E$에 속한 모든 점을 좌표평면 위에 나타내면 다음과 같다.

제시문 (ㄱ)에 의해서 $\displaystyle E$의 한 점 $\displaystyle (x,y)$와 점 $\displaystyle \mathrm S$사이의 거리 $\displaystyle l$은 다음과 같다.$\displaystyle l=\sqrt{(x+\sqrt2)^2+(y-1)^2}\quad(\text{단, }(x,y)\in E)$1) 점 $\displaystyle (x,y)$가 $\displaystyle x^2+y^2=2$ (단, $\displaystyle y\ne0$)을 만족하는 경우원 $\displaystyle x^2+y^2=2$의 중심을 $\displaystyle \mathrm O$라고 하자. 점 $\displaystyle \mathrm S$가 원 $\displaystyle x^2+y^2=2$의 외부에 있으므로, $\displaystyle y\ne0$인 원 $\displaystyle x^2+y^2=2$위의 점 $\displaystyle (x,y)$와 점 $\displaystyle \mathrm S$사이의 거리는 점 $\displaystyle (x,y)$가 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{OS}}$와 원 $\displaystyle x^2+y^2=2\;(y\ne0)$의 교점일 때 최소가 된다. 점 $\displaystyle \mathrm S$의 $\displaystyle y$좌표가 $\displaystyle 0$이 아니므로 원 $\displaystyle x^2+y^2=2\;(y\ne0)$교점이 존재하고 이 때의 거리는 다음과 같다.$\displaystyle m_1=\sqrt3-\sqrt2$

2) 점 $\displaystyle (x,y)$가 $\displaystyle x+y=0$ (단, $\displaystyle 0<|x|\le\sqrt2$)을 만족하는 경우$\displaystyle \begin{aligned}l&=\sqrt{(x+\sqrt2)^2+(y-1)^2}=\sqrt{(x+\sqrt2)^2+(x+1)^2}\\&=\sqrt{2\left(x+\frac{\sqrt2+1}2\right)^2+\frac32-\sqrt2}\end{aligned}$여기서 $\displaystyle -\sqrt2\le-\frac{\sqrt2+1}2<0$이므로 거리의 최솟값은 다음과 같다.$\displaystyle m_2=\sqrt{\frac32-\sqrt2}=1-\frac{\sqrt2}2$

1), 2)에 의해서 $\displaystyle m$은 $\displaystyle m_1=\sqrt3-\sqrt2$와 $\displaystyle m_2=1-\frac{\sqrt2}2$ 중 작은 값이 된다.한편 $\displaystyle m_1-m_2=\sqrt3-\left(1+\frac{\sqrt2}2\right)$이고,$\displaystyle \left(1+\frac{\sqrt2}2\right)^2=\frac32+\sqrt2<\frac32+\sqrt{\frac94}=3=(\sqrt3)^2$이다.그러므로 $\displaystyle m_1>m_2$이다. 따라서 $\displaystyle m=m_2=1-\frac{\sqrt2}2$이다.