의예과 2번

정사각형의 대각선의 교점을 $\displaystyle \mathrm O$, 선분 $\displaystyle AB$의 중점을 $\displaystyle E$, 선분 $\displaystyle BC$의 중점을 $\displaystyle F$라고 하자. 이등변삼각형에서 내접원의 반지름을 $\displaystyle r$, 이 삼각형의 넓이를 $\displaystyle S$, 이 삼각형의 둘레의 길이를 $\displaystyle L$이라고 하면, $\displaystyle S=r\frac L2$를 만족하므로, 삼각형 $\displaystyle HAB$ 내접원의 반지름은 $\displaystyle \frac{\sqrt{15}}5$이다. 점 $\displaystyle P$는 선분 $\displaystyle HE$위에 있고, 선분 $\displaystyle HP$의 길이는 $\displaystyle 4\frac{\sqrt{15}}5$이 되어, $\displaystyle \left|\frac{\overrightarrow{\mathrm{HP}}}2\right|^2=\frac{12}5$이다.$\displaystyle \vec x=\overrightarrow{\mathrm{OE}},\;\vec y=\overrightarrow{\mathrm{OF}},\;\vec z=\overrightarrow{\mathrm{OH}}$라고 하자($\displaystyle |\vec x|=|\vec y|=1,\;|\vec z|=\sqrt{14}$). 점 $\displaystyle P$는 선분 $\displaystyle HE$를 $\displaystyle 4:1$로 내분하므로, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac45\vec x+\frac15\vec z$이고, 마찬가지로 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac45\vec y+\frac15\vec z$임을 알 수 있다. 선분 $\displaystyle DB$위의 임의의 점 $\displaystyle R$에 대하여 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=t(\vec x+\vec y)$라고 하면($\displaystyle -1\le t\le1$),$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PR}}=\left(t-\frac45\right)\vec x+t\vec y-\frac15\vec z,$$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{QR}}=t\vec x+\left(t-\frac45\right)\vec y-\frac15\vec z$이므로,$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PR}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{QR}}=2t\left(t-\frac45\right)+\frac{14}{25}=2\left(t-\frac25\right)^2+\frac6{25}$이다.$\displaystyle |t|\le1$이므로 $\displaystyle \frac6{25}\le\overrightarrow{\mathrm{PR}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{QR}}\le\frac{104}{25}$이다.

$\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{PX}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{HX}}&=\overrightarrow{\mathrm{PX}}\cdot(\overrightarrow{\mathrm{HP}}+\overrightarrow{\mathrm{PX}})\\&=|\overrightarrow{\mathrm{PX}}|^2+\overrightarrow{\mathrm{HP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PX}}=\left|\overrightarrow{\mathrm{PX}}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{HP}}}2\right|^2-\left|\frac{\overrightarrow{\mathrm{HP}}}2\right|^2\end{aligned}$이므로 집합 $\displaystyle S$가 공집합이 되기 위해서는 선분 $\displaystyle DB$위의 임의의 점 $\displaystyle R$에 대하여 $\displaystyle \left|\frac{\overrightarrow{\mathrm{HP}}}2\right|^2+k\overrightarrow{\mathrm{PR}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{QR}}<0$이 되어야 한다. $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PR}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{QR}}$는 양수이므로 $\displaystyle k$는 음수가 되어야 한다. 따라서, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PR}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{QR}}$의 최솟값에서도 음수가 되어야 하므로, 구하는 범위는 $\displaystyle \frac{12}5+k\frac6{25}<0$, 즉, $\displaystyle k<-10$이다.