자연계열 1번

i) $\displaystyle \alpha x^2-2\alpha x-2<0$의 최고차항의 계수 $\displaystyle \alpha$가 $\displaystyle \alpha>0,\;\alpha=0,\;\alpha<0$인 경우로 나누어서 생각한다.1. $\displaystyle \alpha>0$일 때, 함수 $\displaystyle f(x)=\alpha x^2-2\alpha x-2$은 아래로 볼록인 포물선이므로 $\displaystyle f(x)>0$인 값이 반드시 존재한다. 따라서 $\displaystyle \alpha\le0$이다.2. $\displaystyle \alpha=0$일 때, 주어진 부등식은 $\displaystyle -2<0$으로 성립하므로, $\displaystyle \alpha=0$도 포함된다.3. $\displaystyle \alpha<0$일 때, 모든 실수 $\displaystyle x$에 대해서 $\displaystyle \alpha x^2-2\alpha x-2<0$을 만족하려면$\displaystyle D=(-2\alpha)^2+8\alpha=4(\alpha^2+2\alpha)<0$이어야 한다. 따라서 $\displaystyle -2<\alpha<0$이다.1, 2, 3에 의해서, $\displaystyle \alpha$의 범위는 $\displaystyle -2<\alpha\le0$이다.

ii) 로그의 진수 조건에 의해서 $\displaystyle 2-\beta>0,\;2\beta-1>0$, 즉 $\displaystyle \beta<2,\;\beta>\frac12$을 얻는다. 한편, 로그의 밑이 $\displaystyle 0$과 $\displaystyle 1$사이 이므로$\displaystyle \log_{\frac12}(2-\beta)>\log_{\frac12}(2\beta-1)\;\Leftrightarrow\;2-\beta<2\beta-1\;\Leftrightarrow\;1<\beta$이다. 따라서 $\displaystyle \beta$의 범위는 $\displaystyle 1<\beta<2$이다.

$\displaystyle f(x)=2x^2-x+k$로 두면, 두 근 $\displaystyle \alpha,\beta$의 범위가 $\displaystyle -2<\alpha\le0,\;1<\beta<2$일 필요충분조건은 $\displaystyle f(-2)>0,\;f(0)\le0,\;f(1)<0,\;f(2)>0$이다.

즉,$\displaystyle \begin{aligned}f(-2)&=8+2+k=10+k>0\;\Leftrightarrow\;k>-10\\f(0)&=k\le0\\f(1)&=2-1+k=1+k<0\;\Leftrightarrow\;k<-1\\f(2)&=8-2+k=6+k>0\;\Leftrightarrow\;k>-6\end{aligned}$이다.

따라서 네 부등식을 동시에 만족하는 $\displaystyle k$의 범위는 $\displaystyle -6<k<-1$이다.