의예과 2번

$\displaystyle 5$번 이하의 경기에서 $\displaystyle A$팀이 우승팀으로 정해지는 경우는 $\displaystyle 4$번째 또는 $\displaystyle 5$번째 경기에서 $\displaystyle A$팀이 우승 팀으로 정해지는 경우이고 확률은 $\displaystyle A$는 $\displaystyle A$팀이 승리, $\displaystyle B$는 $\displaystyle B$팀이 승리하는 경우로 표시하면 다음과 같다.(1) $\displaystyle AAAA$의 순서로 이기는 경우의 확률 : $\displaystyle \frac5{10}\times\frac6{10}\times\frac7{10}\times\frac8{10}=\frac{1680}{10^4}$(2) $\displaystyle AAABA$의 순서로 이기는 경우의 확률 : $\displaystyle \frac5{10}\times\frac6{10}\times\frac7{10}\times\frac2{10}\times\frac7{10}=\frac{294}{10^4}$(3) $\displaystyle AABAA$의 순서로 이기는 경우의 확률 : $\displaystyle \frac5{10}\times\frac6{10}\times\frac3{10}\times\frac6{10}\times\frac7{10}=\frac{378}{10^4}$(4) $\displaystyle ABAAA$의 순서로 이기는 경우의 확률 : $\displaystyle \frac5{10}\times\frac4{10}\times\frac5{10}\times\frac6{10}\times\frac7{10}=\frac{420}{10^4}$(5) $\displaystyle BAAAA$의 순서로 이기는 경우의 확률 : $\displaystyle \frac5{10}\times\frac4{10}\times\frac5{10}\times\frac6{10}\times\frac7{10}=\frac{420}{10^4}$

따라서 $\displaystyle 5$번 이하의 경기에서 $\displaystyle A$팀이 우승팀으로 결정될 확률은 위의 모든 경우의 확률을 더한 $\displaystyle \frac{3192}{10^4}$이고 같은 방법으로 $\displaystyle 5$번 이하의 경기에서 $\displaystyle B$팀이 우승팀으로결정될 확률도 $\displaystyle \frac{3192}{10^4}$이다. 즉 제시문 (ㄴ)의 사건 $\displaystyle F$에 대하여 $\displaystyle \mathrm P(F)=\frac{6384}{10^4}$이다.Correction. 사건 $\displaystyle F$를 정의한 제시문 (ㄴ)은 (ㄷ)의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

또한 $\displaystyle A$팀이 우승팀일 때 $\displaystyle E\cap F$의 경우는 위의 (4), (5)의 경우이고 그 확률은 $\displaystyle \frac{420\times2}{10^4}=\frac{840}{10^4}$이다. 같은 방법으로 $\displaystyle B$팀이 우승팀일 경우의 확률이 같으므로 $\displaystyle \mathrm P(E\cap F)=\frac{1680}{10^4}$이다.

그러므로 구하는 조건부 확률 $\displaystyle \mathrm P(E/F)=\frac{\mathrm P(E\cap F)}{\mathrm P(F)}=\frac{1680}{6384}=\frac5{19}$이다.