자연계열 2번

태구가 $\displaystyle 3$개의 스위치를 누른 후 채윤이는 켜진 전구 $\displaystyle 3$개와 꺼진 전구 $\displaystyle 7$개인 상태에서 임의로 $\displaystyle 3$개의 스위치를 선택한다. 따라서 $\displaystyle 2$개의 전구가 켜지기 위해서는 채윤이가 켜진 전구 $\displaystyle 3$개 중 $\displaystyle 2$개와 꺼진 전구 $\displaystyle 7$개 중 $\displaystyle 1$개를 택하여야만 한다.

이때 그 확률$\displaystyle \mathrm P(X=2)=\frac{{}_3\mathrm C_2\times{}_7\mathrm C_1}{{}_{10}\mathrm C_3}=\frac{21}{120}=\frac7{40}$이다.

채윤이가 임의로 선택한 $\displaystyle 3$개의 스위치에서 켜진 전구의 스위치의 개수가 $\displaystyle 3,2,1,0$일 때 최종적으로 켜진 전구의 개수는 각각 $\displaystyle 0,2,4,6$이다. 즉 확률변수 $\displaystyle X$가 가질 수 있는 값은 $\displaystyle 0,2,4,6$이다.

이때 그 확률은 각각$\displaystyle \mathrm P(X=0)=\frac{{}_3\mathrm C_3\times{}_7\mathrm C_0}{{}_{10}\mathrm C_3}=\frac1{120},\quad\mathrm P(X=2)=\frac{{}_3\mathrm C_2\times{}_7\mathrm C_1}{{}_{10}\mathrm C_3}=\frac{21}{120}=\frac7{40}$$\displaystyle \mathrm P(X=4)=\frac{{}_3\mathrm C_1\times{}_7\mathrm C_2}{{}_{10}\mathrm C_3}=\frac{63}{120}=\frac{21}{40},\quad\mathrm P(X=6)=\frac{{}_3\mathrm C_0\times{}_7\mathrm C_3}{{}_{10}\mathrm C_3}=\frac{35}{120}=\frac7{24}$이다. 따라서 확률변수 $\displaystyle X$의 확률분포는 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c}x&0&2&4&6\\\hline\mathrm P(X=x)&\frac1{120}&\frac{21}{120}&\frac{63}{120}&\frac{35}{120}\end{array}$

확률변수 $\displaystyle X$의 기댓값은$\displaystyle \mathrm E(X)=\frac1{120}(0\times1+2\times21+4\times63+6\times35)=\frac{21}5$이다.