의예과 4번

$\displaystyle (k+1)$개의 변량 $\displaystyle c,\;c_1,\;c_2,\;\cdots,\;c_k$의 평균 $\displaystyle m$은 다음과 같다.$\displaystyle m=\frac{c+(c+3)+\cdots+(c+3k)}{k+1}=c+\frac32k$그러므로 표준편차 $\displaystyle \sigma_k$는$\displaystyle \begin{aligned}\sigma_k&=\sqrt{\frac1{k+1}\sum_{i=1}^{k+1}\left\{(c+3i-3)-\left(c+\frac{3k}2\right)\right\}^2}=\sqrt{\frac9{k+1}\sum_{i=1}^{k+1}\left(i-1-\frac k2\right)^2}\\&=3\sqrt{\frac1{k+1}\sum_{i=1}^{k+1}\left((i-1)^2-k(i-1)+\frac{k^2}4\right)}=3\sqrt{\frac{k(k+2)}{12}}\end{aligned}$이고 제시문 (ㄷ)의 $\displaystyle l$은$\displaystyle l=\frac{\sqrt3}2\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^n\frac{\sqrt{k(k+2)}}{2n^2-k^2}\right)$

한편,$\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{\sqrt{k(k+2)}}{2n^2-k^2}\ge\sum_{k=1}^n\frac{\sqrt{k^2}}{2n^2-k^2}=\sum_{k=1}^n\frac{\frac kn}{2-\left(\frac kn\right)^2}\cdot\frac1n$이고

$\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{\sqrt{k(k+2)}}{2n^2-k^2}\le\sum_{k=1}^n\frac{\sqrt{(k+1)^2}}{2n^2-k^2}=\sum_{k=1}^n\frac{\frac{k+1}n}{2-\left(\frac kn\right)^2}\cdot\frac1n\le\sum_{k=1}^n\frac{\frac kn}{2-\left(\frac kn\right)^2}\cdot\frac1n+\sum_{k=1}^n\frac1{n^2}$이다.

정적분의 정의와 제시문 (ㄹ)의 1에 의해서 $\displaystyle l$은 다음의 두 부등식을 만족한다.$\displaystyle l\ge\frac{\sqrt3}2\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^n\frac{\frac kn}{2-\left(\frac kn\right)^2}\cdot\frac1n\right)=\frac{\sqrt3}2\int_0^1\frac{x}{2-x^2}dx$그리고$\displaystyle l\le\frac{\sqrt3}2\lim_{n\to\infty}\left[\left(\sum_{k=1}^n\frac{\frac kn}{2-\left(\frac kn\right)^2}\cdot\frac1n\right)+\frac1n\right]=\frac{\sqrt3}2\int_0^1\frac{x}{2-x^2}dx$

따라서 제시문 (ㄹ)의 2에 의해서 제시문 (ㄷ)의 $\displaystyle l$은 다음과 같다.$\displaystyle l=\frac{\sqrt3}2\int_0^1\frac{x}{2-x^2}dx=\frac{\sqrt3}2\Biggl[-\frac12\ln(2-x^2)\Biggr]_0^1=\frac{\sqrt3}4\ln2$